Construa o gráfico das funções abaixo e determine seu Domínio e Imagem.
(g) f(x)=\left\{\begin{array}{lr}-2 x^{2}+4, & x \leq 0 \\\ 0, & 0<x<1 \\\ -2 x^{2}+4, & x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} -2x^{2}+4, & x\le 0,\\\\ 0, & 0<x<1,\\\\ -2x^{2}+4, & x\ge 1, \end{cases}
e pede o gráfico, o domínio e a imagem. Vamos usar conhecimento de esboço de parábolas (ramo quadrático) e de retas horizontais.

Passo 2

Analisando o ramo \,-2x^{2}+4\ para x\le0 e para x\ge1:
– É uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,4).
– Seus pontos de interseção com o eixo x satisfazem
-2x^{2}+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{2}.
Para x\le0 desenhamos a metade esquerda da parábola partindo do vértice (0,4) e descendo até cruzar o eixo em x=-\sqrt{2}. Para x\ge1 desenhamos a outra metade começando em (1,2) (pois -2\cdot1^{2}+4=2) e decrescendo, cruzando o eixo em x=+\sqrt{2} e tendendo a -\infty.

Passo 3

No intervalo 0<x<1 temos f(x)=0, que é a reta horizontal sobre o eixo x. Devemos marcar um segmento de reta em y=0 com círculos abertos em (0,0) e (1,0), pois nesses pontos essa definição não se aplica.

Passo 4

Nos pontos de fronteira:
– Em x=0 vale a regra x\le0, logo f(0)=-2\cdot0^{2}+4=4. Colocamos um ponto fechado em (0,4).
– Em x=1 vale a regra x\ge1, logo f(1)=-2\cdot1^{2}+4=2. Colocamos um ponto fechado em (1,2).

Passo 5

O domínio é a união dos três pedaços x\le0, 0<x<1 e x\ge1, ou seja \text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 6

A imagem é a união das imagens de cada ramo:
– Para o ramo -2x^{2}+4 (tanto em x\le0 quanto em x\ge1) varia de -\infty até o máximo 4.
– Para 0<x<1 a imagem é apenas \{0\}, mas 0 já está contido em (-\infty,4].
Logo
\text{Imagem}=(-\infty,4].

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,4]

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