Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{8}=-2 z.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} = -2\,z
e pede para construirmos seu gráfico por meio do estudo de traços. O conteúdo é reconhecimento de quadricas e uso de seções planas para esboçar a forma.

Passo 2

Isolamos z. Multiplicando ambos os lados por \tfrac{1}{-2} resulta
z = -\frac{x^{2}}{16} \;-\;\frac{y^{2}}{16}\;=\;-\frac{x^{2}+y^{2}}{16}.
Isso mostra que é um paraboloide elíptico cujo vértice está em (0,0,0) e que “abre” no sentido de z negativo (para baixo).

Passo 3

Estudo dos traços horizontais (planos z = z_{0}). Substituindo z=z_{0} na equação original:
\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} = -2\,z_{0} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = -16\,z_{0}.
  • Se z_{0}<0, o lado direito é positivo e obtemos um círculo de raio
r = \sqrt{-16\,z_{0}}.
  • Se z_{0}=0, só fica o ponto (0,0).
  • Se z_{0}>0, não há interseção real.

Passo 4

Estudo dos traços verticais:
  1. Plano y=y_{0}:
\frac{x^{2}}{8} + \frac{y_{0}^{2}}{8} = -2\,z \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{x^{2}+y_{0}^{2}}{16}.
Para cada y_{0} fixo, obtemos uma parábola no plano paralelo a xz, com vértice em \bigl(0,y_{0},-\tfrac{y_{0}^{2}}{16}\bigr) e “abrindo” para z negativo.
2. Plano x=x_{0}: análise idêntica dá parábolas no plano paralelo a yz.

Passo 5

Combinando:
  • O vértice está em (0,0,0).
  • Traços horizontais são círculos cujo raio cresce à medida que z fica mais negativo.
  • Traços verticais são parábolas abrindo para baixo.
Para esboçar, marque alguns níveis z=-1, z=-2, etc.:
  • Em z=-1, raio r=\sqrt{16}=4.
  • Em z=-2, raio r=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
Desenhe círculos nesses planos e una suavemente, formando o paraboloide elíptico que se alarga para baixo.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) que se abre no sentido negativo de z. Seus traços horizontais z=z_{0} são círculos de raio \sqrt{-16\,z_{0}} (para z_{0}<0) e os traços verticais são parábolas em planos x=constante ou y=constante.

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