Construa o gráfico do paraboloide elíptico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede para construirmos seu gráfico por meio do estudo de traços. O conteúdo é reconhecimento de quadricas e uso de seções planas para esboçar a forma.
Passo 2
Isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
resulta
Isso mostra que é um paraboloide elíptico cujo vértice está em
e que “abre” no sentido de
negativo (para baixo).
Passo 3
Estudo dos traços horizontais (planos
). Substituindo
na equação original:
- Se
, o lado direito é positivo e obtemos um círculo de raio
- Se
, só fica o ponto . - Se
, não há interseção real.
Passo 4
Estudo dos traços verticais:
- Plano
:
Para cada
fixo, obtemos uma parábola no plano paralelo a
, com vértice em
e “abrindo” para
negativo.
2. Plano : análise idêntica dá parábolas no plano paralelo a
.
2. Plano
Passo 5
Combinando:
- O vértice está em
. - Traços horizontais são círculos cujo raio cresce à medida que
fica mais negativo. - Traços verticais são parábolas abrindo para baixo.
Para esboçar, marque alguns níveis
,
, etc.:
- Em
, raio . - Em
, raio .
Desenhe círculos nesses planos e una suavemente, formando o paraboloide elíptico que se alarga para baixo.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
que se abre no sentido negativo de
. Seus traços horizontais
são círculos de raio
(para
) e os traços verticais são parábolas em planos
constante ou
constante.