Construa o gráfico do paraboloide hiperbólico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
x^{2}-y^{2}=-z.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do paraboloide hiperbólico dado por
x^{2}-y^{2}=-z,
ou seja, equivalentemente
z = y^{2} - x^{2}.
Conteúdo: superfícies de segundo grau (querdráticas). Vamos analisar os traços (interseções com planos z=k, x=a e y=b) para identificar o formato em cada direção e, a partir disso, montar o esboço.

Passo 2

Traços horizontais z=k. Fixando \displaystyle z=k, a equação fica
x^{2}-y^{2} = -\,k,
ou seja
x^{2}-y^{2} = c, \quad c=-k.
Para cada constante c:
  • Se c>0, temos hipérboles com eixo transverso paralelo ao eixo x.
  • Se c<0, hipérboles com eixo transverso paralelo ao eixo y.
  • Se c=0, duas retas x=\pm y.
    Logo, as seções horizontais são sempre hipérboles (ou reta dupla em c=0).

Passo 3

Traços verticais em planos x=a. Fixando \displaystyle x=a, vem
a^{2}-y^{2} = -z \quad\Longrightarrow\quad z = y^{2}-a^{2}.
Isso é uma parábola no plano yz, com eixo paralelo a z e concavidade voltada para cima (coeficiente de y^{2} positivo). A parábola desloca-se para baixo de modo que seu vértice fica em (y,z)=(0,-a^{2}).

Passo 4

Traços verticais em planos y=b. Fixando \displaystyle y=b, vem
x^{2}-b^{2} = -z \quad\Longrightarrow\quad z = b^{2}-x^{2}.
Aqui temos parábola no plano xz, com eixo paralelo a z e concavidade voltada para baixo (coeficiente de x^{2} negativo). O vértice está em (x,z)=(0,b^{2}).

Passo 5

Conclusão sobre a forma da superfície:
  • Pelas seções x=a vemos parábolas abrindo para cima.
  • Pelas seções y=b vemos parábolas abrindo para baixo.
  • Nas seções z=k aparecem hipérboles.
    Isso caracteriza um paraboloide hiperbólico ou “sela”, que se abre para cima ao longo da direção y e para baixo ao longo de x.

Resposta

O gráfico é o paraboloide hiperbólico
z = y^{2} - x^{2},
cujos traços são:
(a) Plano z=k: hipérboles x^{2}-y^{2}=-k.
(b) Plano x=a: parábolas z=y^{2}-a^{2}, concavidade para cima.
(c) Plano y=b: parábolas z=b^{2}-x^{2}, concavidade para baixo.
O esboço resulta numa superfície em forma de sela, com “tigela” em y e “calha” em x.

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