Construa o gráfico do paraboloide hiperbólico dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do paraboloide hiperbólico dado por
ou seja, equivalentemente
Conteúdo: superfícies de segundo grau (querdráticas). Vamos analisar os traços (interseções com planos
,
e
) para identificar o formato em cada direção e, a partir disso, montar o esboço.
Passo 2
Traços horizontais
. Fixando
, a equação fica
ou seja
Para cada constante
:
- Se
, temos hipérboles com eixo transverso paralelo ao eixo . - Se
, hipérboles com eixo transverso paralelo ao eixo . - Se
, duas retas .
Logo, as seções horizontais são sempre hipérboles (ou reta dupla em).
Passo 3
Traços verticais em planos
. Fixando
, vem
Isso é uma parábola no plano
, com eixo paralelo a
e concavidade voltada para cima (coeficiente de
positivo). A parábola desloca-se para baixo de modo que seu vértice fica em
.
Passo 4
Traços verticais em planos
. Fixando
, vem
Aqui temos parábola no plano
, com eixo paralelo a
e concavidade voltada para baixo (coeficiente de
negativo). O vértice está em
.
Passo 5
Conclusão sobre a forma da superfície:
- Pelas seções
vemos parábolas abrindo para cima. - Pelas seções
vemos parábolas abrindo para baixo. - Nas seções
aparecem hipérboles.
Isso caracteriza um paraboloide hiperbólico ou “sela”, que se abre para cima ao longo da direçãoe para baixo ao longo de .
Resposta
O gráfico é o paraboloide hiperbólico
cujos traços são:
(a) Plano : hipérboles
.
(b) Plano : parábolas
, concavidade para cima.
(c) Plano : parábolas
, concavidade para baixo.
O esboço resulta numa superfície em forma de sela, com “tigela” em e “calha” em
.
(a) Plano
(b) Plano
(c) Plano
O esboço resulta numa superfície em forma de sela, com “tigela” em