Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um paraboloide hiperbólico.
-36 x^{2}+9 y^{2}-4 z+1=1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrupla
-36x^{2}+9y^{2}-4z+1=1
e pede para reduzi-la à forma canônica de um paraboloide hiperbólico. Vamos usar classificação de superfícies quádricas e manipular a equação para isolar z.

Passo 2

Começo movendo o termo constante para o outro lado e agrupando os termos em x^2, y^2 e z:
-36x^{2}+9y^{2}-4z+1=1 \quad\Longrightarrow\quad -36x^{2}+9y^{2}-4z=0.

Passo 3

Agora isolo z. Divido tudo por -4:
z = -\frac{1}{4}\bigl(-36x^2+9y^2\bigr) = \frac{36}{4}x^2-\frac{9}{4}y^2 = 9x^2-\frac{9}{4}y^2.
Para evidenciar o sinal negativo no termo em y^2, reescrevo
z = 9x^2 \;-\;\frac{9}{4}y^2.

Passo 4

A forma padrão de um paraboloide hiperbólico é
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.
Comparando com
z = 9x^2 - \frac{9}{4}y^2 = \frac{x^2}{\tfrac{1}{9}} - \frac{y^2}{\tfrac{4}{9}},
vemos que
a^2 = \frac{1}{9}, \quad b^2 = \frac{4}{9},
confirmando a forma canônica.

Resposta

\boxed{z = 9x^2 - \frac{9}{4}y^2}
ou, equivalentemente,
\boxed{z = \frac{x^2}{\tfrac{1}{9}} \;-\;\frac{y^2}{\tfrac{4}{9}}}
(forma padrão de um paraboloide hiperbólico).

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