Construa o gráfico das seguintes funções logarítmicas, fazendo uso do software Geogebra.
\log _{4}\left(x^{2}-9\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico de
f(x)=\log_{4}\bigl(x^{2}-9\bigr)
usando Geogebra. O conteúdo principal é o estudo de função logarítmica: primeiro precisamos determinar domínio, assíntotas, pontos de referência e monotonicidade, e só então inserir a função no Geogebra e ajustar a visualização.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o argumento do logaritmo seja positivo:
x^{2}-9>0
Isso implica
x^{2}>9 \quad\Longrightarrow\quad x<-3 \quad\text{ou}\quad x>3.
Logo o domínio de f é
(-\infty,-3)\,\cup\,(3,\infty).

Passo 3

Como x^{2}-9\to0^{+} quando x\to3^{+} ou x\to(-3)^{-}, ocorre
f(x)=\log_{4}(x^{2}-9)\to-\infty
nesses limites, de modo que há assíntotas verticais em
x=-3 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 4

Escolhemos alguns pontos para esboçar a forma da curva:
  • Para x=5:
f(5)=\log_{4}(25-9)=\log_{4}(16)=2.
  • Para x=4:
f(4)=\log_{4}(16-9)=\log_{4}(7)\approx1,4.
Pelas simetrias teremos também f(-5)=2 e f(-4)=\log_{4}(7).

Passo 5

Observamos que no intervalo (3,\infty) a função x\mapsto x^{2}-9 é crescente, e como \log_{4} também é crescente, f é crescente em (3,\infty). Pela paridade de x^{2}, f é uma função par, logo o ramo em (-\infty,-3) é o espelho do ramo em (3,\infty).

Passo 6

No Geogebra faça o seguinte:
  1. Abra a entrada de função e digite
f(x)=\log\bigl(x^{2}-9\bigr)/\log(4).
  1. Ajuste a janela para x de -10 a 10 e y de, digamos, -5 a 5.
  2. Observe os dois ramos com assíntotas verticais em x=-3 e x=3, passando pelos pontos calculados e subindo de -\infty até +\infty em cada intervalo de domínio.

Resposta

O gráfico de f(x)=\log_{4}(x^{2}-9) possui:
– Domínio (-\infty,-3)\cup(3,\infty).
– Assíntotas verticais em x=-3 e x=3.
– É par e crescente em cada ramo.
– Passa por (5,2), (4,\log_{4}7) e respectivos reflexos negativos.
No Geogebra basta inserir
f(x)=\frac{\log(x^{2}-9)}{\log(4)}
e ajustar a janela para visualizar os dois ramos conforme descrito.

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