Construa o gráfico das seguintes funções logarítmicas, fazendo uso do software Geogebra.
\log _{\frac{1}{2}}(3 x-2)

Passo 1

A tarefa é traçar o gráfico de
f(x)=\log_{\tfrac12}(3x-2)
Usaremos teoria de função logarítmica (domínio, assíntota vertical, intercepto, monotonicidade) e depois aplicaremos no GeoGebra.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Como o log exige argumento positivo, temos
3x-2>0\quad\Longrightarrow\quad x>\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Reescrever usando log natural para entender monotonicidade:
f(x) =\frac{\ln(3x-2)}{\ln\bigl(\tfrac12\bigr)} =\frac{\ln(3x-2)}{-\ln2} =-\frac{\ln(3x-2)}{\ln2}.
Como dividimos por -\ln2<0, invertemos o crescimento do \ln, logo f é estritamente decrescente no domínio.

Passo 4

Identificar assíntota vertical e intercepto em x:
— Assíntota vertical em x=\tfrac{2}{3}, pois aí o argumento do log vai a zero.
— Intercepto com o eixo x obtém-se f(x)=0:
-\frac{\ln(3x-2)}{\ln2}=0 \;\Longrightarrow\; \ln(3x-2)=0 \;\Longrightarrow\; 3x-2=1 \;\Longrightarrow\; x=1.
Portanto a curva passa em \,(1,0). Não há intercepto em y porque x=0 não pertence ao domínio.

Passo 5

Analisar os limites nos extremos do domínio:
— Quando x\to\bigl(\tfrac23\bigr)^+, 3x-2\to0^+, \ln(3x-2)\to-\infty e
f(x)=-\frac{\ln(3x-2)}{\ln2}\to+\infty.
— Quando x\to+\infty, \ln(3x-2)\to+\infty e
f(x)\to -\infty.
Concluímos que a curva sai de +\infty logo à direita de x=\tfrac23, atravessa (1,0) e decresce até -\infty.

Passo 6

No GeoGebra:
  1. Abra a Calculadora Gráfica.
  2. Na linha de entrada digite
    f(x)=Log[1/2,3x-2]
    (ou f(x)=log(3x-2,1/2)).
  3. Ajuste a vista de forma que o eixo x inicie em cerca de 0{,}6 para mostrar a assíntota em x=\tfrac23.
  4. Para marcar a assíntota, insira a reta x=\tfrac{2}{3} com o comando
    Reta[x=\tfrac{2}{3}].

Resposta

O gráfico de \log_{\tfrac12}(3x-2) apresenta-se com assíntota vertical em x=\tfrac{2}{3}, parte de +\infty logo à direita desse valor, cruza o eixo x em (1,0) e decresce sem limite até -\infty. No GeoGebra basta inserir
f(x)=Log[1/2,3x-2]
e ajustar a janela conforme descrito.

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