Construa o gráfico das seguintes funções de mathbb{R} em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+2, \text { se } x>0 \\\\ 4, \text { se } x=0 \\\\ 2 x+2, \text { se } x<0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função definida por partes em \mathbb{R}\):
\[f(x)=\begin{cases} -x+2, & \text{se } x>0,\\[4pt] 4, & \text{se } x=0,\\[4pt] 2x+2, & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas:
Para x<0\] a função é a reta \(\;f(x)=2x+2.\n
Para x=0 a função tem o valor isolado \;f(0)=4.\n
Para x>0 a função é a reta \;f(x)=-x+2.\n
O objetivo é traçar no plano cartesiano as duas retas restritas aos seus intervalos e o ponto em x=0.]
Passo 2
Analisar a ramo esquerdo (x<0): \;f(x)=2x+2.\n
É uma reta com coeficiente angular (inclinação) \;2 e ordenada na origem (se estendêssemos até x=0) igual a \;2, pois \;f(0)=2 para esta expressão.\n
Encontrar interceptos úteis:\n
Intercepto com o eixo y: \;f(0)=2 (mas atenção: esta expressão não vale em x=0, então ao desenhar vamos fazer um círculo aberto em (0,2)).\n
Intercepto com o eixo x: resolver \;2x+2=0\Rightarrow x=-1. Logo a reta cruza o eixo x em (-1,0).\n
Conclusão prática para o desenho: traçar a reta que passa por (-1,0) e que tende a (0,2) quando x\to0^-; em (0,2) colocamos um círculo aberto porque o ramo não inclui x=0.
Passo 3
Analisar o ramo direito (x>0): \;f(x)=-x+2.\n
É uma reta com coeficiente angular -1 e ordenada na origem (se estendida) igual a \;2, pois \;f(0)=2 para esta expressão.\n
Interceptos úteis:\n
Intercepto com o eixo y: \;f(0)=2 (novamente, essa expressão não vale em x=0, então teremos um círculo aberto em (0,2) também dessa direita).\n
Intercepto com o eixo x: resolver -x+2=0\Rightarrow x=2. Logo a reta cruza o eixo x em (2,0).\n
Conclusão prática para o desenho: traçar a reta que passa por (2,0) e que tende a (0,2) quando x\to0^+; em (0,2) colocar um círculo aberto (porque o ramo não inclui x=0).
Passo 4
Tratar o ponto x=0: \;f(0)=4.\n
No gráfico, marcar um ponto sólido (preenchido) em (0,4) — esse é o valor real da função em x=0.\n
Observação sobre continuidade: \lim_{x\to0^-}f(x)=2 (do ramo esquerdo) e \lim_{x\to0^+}f(x)=2 (do ramo direito), portanto \lim_{x\to0}f(x)=2, mas f(0)=4\neq2. Logo existe uma descontinuidade removível em x=0: o limite existe (é 2) mas a função tem valor diferente.
Passo 5
Resumo dos pontos e tentativa de traçado (o que deve aparecer no papel ao desenhar):\n
Reta \;y=2x+2 restrita a \;x<0: passa por (-1,0) e aproxima-se de (0,2). Em (0,2) desenhar um círculo aberto.\n
Ponto isolado \;(0,4): desenhar um ponto sólido em (0,4).\n
Reta \;y=-x+2 restrita a \;x>0: passa por (2,0) e aproxima-se de (0,2). Em (0,2) desenhar um círculo aberto.\n
Não existe valor da função igual a 2 (porque as soluções que dariam 2 seriam x=0, e nesse ponto f(0)=4), portanto a altura y=2 fica marcada somente por círculos abertos em x=0.
Passo 6
Determinar a imagem (conjunto de valores) da função — informação útil ao interpretar o gráfico:\n
Para x<0, a função \;2x+2 assume todos os valores menores que 2 (quando x\to -\infty, f\to -\infty; quando x\to0^-, f\to2^-). Portanto essa parte contribui com o intervalo (-\infty,2).\n
Para x>0, a função -x+2 também assume todos os valores menores que 2 (quando x\to0^+, f\to2^-; quando x\to+\infty, f\to -\infty). Não gera novos valores além de (-\infty,2).\n
Em x=0 temos o valor 4, que é um valor isolado da imagem.\n
Logo a imagem (contra-domínio efetivo) é \;f(\mathbb{R}) = (-\infty,2)\cup\{4\}.
Passo 7
Dicas práticas para desenhar à mão (resumindo o que traçar no papel):\n
Desenhar eixos x e y e marcar os pontos citados.\n
Traçar a reta que passa por (-1,0) e por pontos como (-2,-2) para o ramo esquerdo, terminando com um círculo aberto em (0,2).\n
Traçar a reta que passa por (2,0) e por (1,1) para o ramo direito, terminando com um círculo aberto em (0,2).\n
Marcar o ponto sólido em (0,4).\n
Conferir: não ligar o ponto (0,4) às retas — é um ponto isolado.
Resposta
Gráfico: reta y=2x+2 para x<0 (com círculo aberto em (0,2)); ponto isolado (0,4) (ponto sólido); reta y=-x+2 para x>0 (com círculo aberto em (0,2)).\n
Imagem: f(\mathbb{R}) = (-\infty,2)\cup\{4\}.