Construa o gráfico das seguintes funções de mathbb{R} em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-1, \text { se } x \geq 0 \\\\ -x, \text { se } x<0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se construa (desenhe) o gráfico da função definida por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Informações dadas:
  • Para x\ge 0 a expressão é f(x)=x^{2}-1.
  • Para x<0 a expressão é f(x)=-x.
    O objetivo é representar no plano cartesiano (eixo x e eixo y) ambas as partes, indicando pontos relevantes e a natureza da união das duas curvas.]

Passo 2

Análise da parte direita ( x\ge 0): a função é
f(x)=x^{2}-1.
Explicando a expressão: x^{2} é a parábola padrão que tem vértice em (0,0) e abre para cima. A subtração de 1 desloca toda a parábola uma unidade para baixo. Então:
  • Vértice: (0,-1).
  • Eixo de simetria: a reta x=0.
  • Para crescer: quando x aumenta, x^{2} cresce rápido e f(x) cresce.
    Pontos fáceis de calcular e marcar (sem calculadora):
f(0)=0^{2}-1=-1,\qquad f(1)=1^{2}-1=0,\qquad f(2)=4-1=3.
Observação importante: como a definição exige x\ge 0, o ponto (0,-1) faz parte do gráfico (ponto preenchido).

Passo 3

Aula rápida sobre parábola aplicada: a forma geral y=ax^{2}+bx+c com a>0 é uma parábola que abre para cima. Aqui a=1, b=0, c=-1. O vértice em x=-b/(2a)=0, e o valor mínimo é y=c=-1. Esses princípios servem para desenhar sem depender de calculadora: localize vértice e alguns pontos simétricos à direita e esquerda do eixo x=0.

Passo 4

Análise da parte esquerda ( x<0): a função é
f(x)=-x.
Explicando a expressão: isso é uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto em y-axis igual a 0 (pois f(0)=0 se permitisse x=0). Para x<0 temos valores positivos de f(x), por exemplo:
f(-1)=-(-1)=1,\qquad f(-2)=2,\qquad f(-0{,}5)=0{,}5.
Importante: a definição exige x<0, logo o ponto (0,0) não pertence ao gráfico dessa parte — deve ser representado como um círculo aberto se for mostrado no desenho.

Passo 5

Pontos notáveis e interceptos:
  • Intercepto com o eixo y: é f(0). Como a definição para x\ge 0 vale em 0, temos
f(0)=0^{2}-1=-1,
portanto o gráfico intercepta o eixo y em (0,-1).
  • Interceptos com o eixo x (resolver f(x)=0):
    Para x\ge 0: resolver x^{2}-1=0
x^{2}=1\implies x=1 \text{ ou } x=-1,
mas só x=1 satisfaz x\ge 0. Para x<0: resolver -x=0 x=0, que não pertence a x<0. Logo o único zero é x=1, ponto (1,0).
  • Comportamento ao aproximar de 0:
\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}(-x)=0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}-1)=-1.
Assim, há uma descontinuidade de salto em x=0: o limite pela esquerda é 0, pela direita é -1, e o valor da função em 0 é -1.

Passo 6

Como desenhar o gráfico passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Faça os eixos x e y.
  2. Marque o ponto (0,-1) e preencha-o (esse ponto pertence ao gráfico).
  3. Desenhe a parábola para x\ge 0: a partir do vértice (0,-1) desenhe a curva que passa por (1,0) e por (2,3). Lembre que para valores muito grandes de x a parábola sobe rápido.
  4. Para a parte x<0, desenhe a reta de inclinação -1 que passa arbitrariamente próxima de 0 por valores negativos: por exemplo conecte os pontos (-1,1), (-2,2). Não desenhe a reta incluindo x=0; no ponto (0,0) coloque um círculo aberto para indicar que esse ponto não pertence ao gráfico.
  5. Verifique visualmente a descontinuidade: o ramo da reta chega ao ponto (0,0) (mas não o inclui) e a parábola tem o ponto (0,-1). Esses dois pontos são distintos, confirmando o salto.

Passo 7

Resumo das características para decorar e usar na prova:
  • Para x<0: gráfico é a reta y=-x, sem incluir (0,0).
  • Para x\ge 0: gráfico é a parábola y=x^{2}-1, incluindo (0,-1).
  • Ponto isolado no eixo y: (0,-1) (pertence).
  • Ponto aberto no limite pela esquerda: (0,0) (não pertence).
  • Zero da função: apenas (1,0).
  • Função é descontínua em x=0 (salto).

Resposta

Para x<0: reta y=-x (sem incluir (0,0)).
Para x\ge 0: parábola y=x^{2}-1 (incluindo (0,-1)).
Zero: (1,0).
Descontinuidade em x=0: \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \lim_{x\to0^+}f(x)=-1, f(0)=-1.

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