Construa os gráficos das funções definidas em mathbb{R} :
y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
y = x^{2}
definida em \mathbb{R}. O conteúdo é familiarizar-se com o método de esboço de gráficos de funções polinomiais do 2.º grau, identificando domínio, imagem, simetria, e selecionando pontos chaves para depois ligar com uma curva suave.

Passo 2

Identificamos as propriedades básicas de f(x)=x^2:
– Domínio: todos os reais, isto é, \mathbb{R}.
– Imagem: como x^2\ge0 para todo x, temos \mathrm{Im}(f) = [0,\infty).
– Vértice: o ponto mínimo ocorre em x=0, dando (0,0).
– Simetria: f é par, logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Para esboçar, fazemos uma pequena tabela de valores:
\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\hline y=x^2& 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array}
Esses pontos (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1) e (2,4) já dão a forma básica da parábola.

Passo 4

Desenhamos um sistema de eixos x e y, marcamos os pontos da tabela e então ligamos esses pontos por uma curva suave em “U”, com mínimo em (0,0) e braços subindo à medida que \lvert x\rvert aumenta.

Passo 5

Verificamos o comportamento nos extremos:
\lim_{x\to\pm\infty}x^{2} = +\infty,
confirmando que os ramos da parábola se elevam indefinidamente à esquerda e à direita. O eixo de simetria é x=0.

Resposta

O gráfico de y=x^{2} é a parábola com vértice em (0,0), abertura para cima, simétrica em relação ao eixo y, e cujos pontos mais simples são (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1) e (2,4).

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