Construa os gráficos das funções:
f(x)=\log _{\frac{1}{10}} x

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função
f(x)=\log_{1/10}x.
Isso envolve entender domínio, imagem, monotonicidade e assimptotas de uma função logarítmica de base b com 0<b<1.

Passo 2

Determinamos o domínio e a assimptota vertical.
O logaritmo está definido somente para x>0, logo
\text{Domínio} = (0,\infty).í
Como x\to0^+, o valor de f(x) cresce sem limite, portanto há uma assimptota vertical em x=0 (o eixo y).

Passo 3

Estudamos a monotonicidade e os limites nas extremidades do domínio.
Para base b\in(0,1), a função \log_b x é estritamente decrescente. Além disso,
\lim_{x\to0^+}\log_{1/10}x = +\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\log_{1/10}x = -\infty.

Passo 4

Escolhemos pontos de referência para esboçar o gráfico:
  • Em x=1:
f(1)=\log_{1/10}1=0.
  • Em x=0,1 (ou seja x=10^{-1}):
f(0,1)=\log_{1/10}(10^{-1}) =\frac{\log(10^{-1})}{\log(1/10)} =\frac{-1}{-1}=1.
  • Em x=10:
f(10)=\log_{1/10}(10) =\frac{\log(10)}{\log(1/10)} =\frac{1}{-1}=-1.

Passo 5

Agora esboçamos o gráfico unindo essas informações:
  1. Traçamos a reta vertical x=0 como assimptota.
  2. Marcamos os pontos (1,0), (0,1,1) e (10,-1).
  3. Sabendo que a curva é decrescente, passa por esses pontos e tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to+\infty, desenhamos a curva em forma suave ligando esses comportamentos.

Resposta

O gráfico de \displaystyle f(x)=\log_{1/10}x é uma curva que:
  • Está definida para x>0.
  • Tem assimptota vertical em x=0.
  • É estritamente decrescente.
  • Passa por (0,1,1), (1,0) e (10,-1).
  • Tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to+\infty.

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