Construa os gráficos das funções:
f(x)=\log _{\frac{1}{3}} x

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico de
f(x)=\log_{\tfrac{1}{3}}x
Este é um logaritmo de base b=\tfrac{1}{3}<1. Para esboçar o gráfico, vamos precisar determinar o domínio, a imagem, pontos notáveis, comportamento nos extremos e a monotonicidade da função.

Passo 2

Domínio e assíntota vertical:
• O logaritmo está definido apenas para x>0. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
• Como não há valor de f(x) para x\le0, existe uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Pontos notáveis:
• Em x=1, temos
f(1)=\log_{\tfrac{1}{3}}1=0.
• Para encontrar um outro ponto, note que
\log_{\tfrac{1}{3}}\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=1 \quad\text{e}\quad \log_{\tfrac{1}{3}}\!(3)=-1.
Assim, o gráfico passa por \bigl(1,0\bigr), \bigl(\tfrac{1}{3},1\bigr) e \bigl(3,-1\bigr).

Passo 4

Comportamento nos extremos:
• Quando x\to0^+, o argumento do logaritmo tende a zero e, como a base é menor que 1,
f(x)=\log_{\tfrac{1}{3}}x\to+\infty.
• Quando x\to+\infty, o logaritmando cresce e o logaritmo em base <1 tende a
f(x)=\log_{\tfrac{1}{3}}x\to -\infty.

Passo 5

Monotonicidade e esboço final:
• Para base 0<b<1, a função \log_b x é estritamente decrescente.
• Juntando domínio, assíntota em x=0, pontos notáveis e comportamento nos extremos, o esboço fica assim:
– Uma curva suave que sai de +\infty próximo a x=0^+,
– Passa por \bigl(\tfrac{1}{3},1\bigr), depois por \bigl(1,0\bigr), depois por \bigl(3,-1\bigr),
– E decai para -\infty conforme x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\log_{\tfrac{1}{3}}x é uma curva estritamente decrescente definida para x>0, com assíntota vertical em x=0, que passa pelos pontos \bigl(\tfrac{1}{3},1\bigr), (1,0) e (3,-1), tendendo a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to+\infty.

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