Construa os gráficos das funções reais abaixo f(x)=\left|x^{2}-2 x\right|+x+2
Passo 1
O enunciado pede para construir (esboçar) o gráfico da função real
f(x)=\left|x^{2}-2x\right|+x+2.
Informações dadas:
A função é definida para todo x\in\mathbb{R}.
A expressão interna do valor absoluto é \;x^{2}-2x\;.
O objetivo é obter um esboço do gráfico, identificando formas, pontos importantes (vértices, extremos, pontos de quebra) e comportamento para x\to\pm\infty.
Passo 2
Estratégia básica (aprender a técnica): quando aparece \left|\,\cdot\,\right|, o caminho tradicional é remover o valor absoluto escrevendo a expressão em forma por partes (piecewise), separando os intervalos onde a expressão dentro do valor absoluto é não negativa e negativa. Primeiro encontro as raízes de
x^{2}-2x=0.
Fatorando:
x(x-2)=0,
portanto as raízes são \;x=0\; e \;x=2\;. Como \;x^{2}-2x\; é uma parábola com coeficiente principal positivo, ela é:
negativa entre as raízes, ou seja em (0,2);
não negativa fora delas, ou seja em (-\infty,0] e [2,\infty).
Passo 3
Construo a definição por partes usando o comportamento do valor absoluto:
Se \;x^{2}-2x\ge 0\; (isto é, \;x\le0\; ou \;x\ge2\;), então \left|x^{2}-2x\right|=x^{2}-2x. Logo
f(x)=x^{2}-2x+x+2=x^{2}-x+2
para \;x\le0\; ou \;x\ge2\;.
Se \;x^{2}-2x<0\; (isto é, \;0<x<2\;), então \left|x^{2}-2x\right|=-(x^{2}-2x)=-x^{2}+2x. Logo
Observação importante: esse vértice de \;x^{2}-x+2\; está em x=\tfrac{1}{2}, que NÃO pertence aos intervalos onde essa fórmula vale (ela vale apenas para x\le0 e x\ge2). Portanto o vértice completo dessa parábola não aparece no gráfico da função; aparecem apenas as “caudas” da parábola a partir das regiões permitidas.
A expressão \;-x^{2}+3x+2\; é uma parábola com a=-1<0 (abre para baixo). O vértice ocorre em
Com esses pontos já dá para esboçar com confiança: para x\le0 desenhar a “cauda” da parábola x^{2}-x+2 que decresce até x=0 (derivada 2x-1 é negativa ali) e atinge f(0)=2; para 0<x<2 desenhar a parábola invertida -x^{2}+3x+2 com pico em x=\tfrac{3}{2}; para x\ge2 desenhar a cauda da mesma parábola de cima x^{2}-x+2 que cresce a partir de x=2.
Passo 7
Análise de extremos e comportamento:
Comportamento nas infinitas: como o termo dominante é x^{2} (vem de |x^{2}-2x|), tem f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
Extremos:
Mínimo global: verificar onde é menor. Observando os valores, f(0)=2 é o menor valor obtido (à esquerda, f decresce até x=0; à direita, dentro de (0,2) a parábola é côncava para baixo e atinge valores ≥2; para x\ge2 a função cresce). Logo mínimo global em x=0 com valor f(0)=2.
Máximo local: existe um máximo local (e também global relativo no intervalo (0,2)) em x=\tfrac{3}{2} com f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{17}{4}.
Passo 8
Como esboçar na prova (passo a passo prático):
Marque os pontos-chave: (-1,4), (0,2), (1,4), (\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}), (2,4), (3,8).
Desenhe para x\le0 a curva que segue a parábola x^{2}-x+2 aproximando-se de +\infty à medida que x\to-\infty e passando por (0,2).
Desenhe entre 0 e 2 a parábola invertida -x^{2}+3x+2 com pico em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}\right).
Desenhe para x\ge2 a parte da parábola x^{2}-x+2 que cresce para +\infty.
Verifique que as junções em x=0 e x=2 são suaves em altura (continuidade), mas a derivada muda (há mudança de curvatura), então não há tangente única suave em geral.