Construa os gráficos das funções reais abaixo
f(x)=\left|x^{2}-2 x\right|+x+2

Passo 1

O enunciado pede para construir (esboçar) o gráfico da função real
f(x)=\left|x^{2}-2x\right|+x+2.
Informações dadas:
  • A função é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A expressão interna do valor absoluto é \;x^{2}-2x\;.
  • O objetivo é obter um esboço do gráfico, identificando formas, pontos importantes (vértices, extremos, pontos de quebra) e comportamento para x\to\pm\infty.

Passo 2

Estratégia básica (aprender a técnica): quando aparece \left|\,\cdot\,\right|, o caminho tradicional é remover o valor absoluto escrevendo a expressão em forma por partes (piecewise), separando os intervalos onde a expressão dentro do valor absoluto é não negativa e negativa. Primeiro encontro as raízes de
x^{2}-2x=0.
Fatorando:
x(x-2)=0,
portanto as raízes são \;x=0\; e \;x=2\;. Como \;x^{2}-2x\; é uma parábola com coeficiente principal positivo, ela é:
  • negativa entre as raízes, ou seja em (0,2);
  • não negativa fora delas, ou seja em (-\infty,0] e [2,\infty).

Passo 3

Construo a definição por partes usando o comportamento do valor absoluto:
  • Se \;x^{2}-2x\ge 0\; (isto é, \;x\le0\; ou \;x\ge2\;), então \left|x^{2}-2x\right|=x^{2}-2x. Logo
f(x)=x^{2}-2x+x+2=x^{2}-x+2
para \;x\le0\; ou \;x\ge2\;.
  • Se \;x^{2}-2x<0\; (isto é, \;0<x<2\;), então \left|x^{2}-2x\right|=-(x^{2}-2x)=-x^{2}+2x. Logo
f(x)=-x^{2}+2x+x+2=-x^{2}+3x+2
para \;0<x<2\;.
Portanto a função em forma piecewise é
f(x)=\begin{cases} x^{2}-x+2, & x\le0,\\[4pt] - x^{2}+3x+2, & 0<x<2,\\[4pt] x^{2}-x+2, & x\ge2. \end{cases}]

Passo 4

Verifico continuidade nos pontos de quebra x=0 e x=2 (essas verificações também ajudam a desenhar sem saltos):
  • Em x=0:
\text{pela parte esquerda } f(0)=0^{2}-0+2=2, \qquad \text{pela parte interna } f(0)= -0+0+2=2.
Logo f é contínua em x=0.
  • Em x=2:
\text{pela parte interna } f(2)=-4+6+2=4, \qquad \text{pela parte direita } f(2)=4-2+2=4.
Logo f é contínua em x=2.
Isso era esperado: \left|x^{2}-2x\right| é contínuo, e somando com x+2 mantém continuidade.

Passo 5

Entenda a forma de cada ramo (aula curta sobre parábolas):
  • A expressão \;x^{2}-x+2\; é uma parábola com coeficiente principal a=1>0 (abre para cima). O vértice dessa parábola ocorre em
x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2\cdot1}=\dfrac{1}{2}.
O valor do vértice é
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{7}{4}=1{,}75.
Observação importante: esse vértice de \;x^{2}-x+2\; está em x=\tfrac{1}{2}, que NÃO pertence aos intervalos onde essa fórmula vale (ela vale apenas para x\le0 e x\ge2). Portanto o vértice completo dessa parábola não aparece no gráfico da função; aparecem apenas as “caudas” da parábola a partir das regiões permitidas.
  • A expressão \;-x^{2}+3x+2\; é uma parábola com a=-1<0 (abre para baixo). O vértice ocorre em
x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3}{2}.
O valor no vértice é
f\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = -\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}+3\cdot\tfrac{3}{2}+2 = -\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{2}+2 = -\tfrac{9}{4}+\tfrac{18}{4}+\tfrac{8}{4} = \tfrac{17}{4}.
Portanto o ramo interno tem um ponto de máximo em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}\right).

Passo 6

Calculo alguns pontos-chave para traçar o gráfico (é assim que se faz no rascunho da prova):
  • x=-1: pela fórmula externa f(-1)=(-1)^{2}-(-1)+2=1+1+2=4.
  • x=0: f(0)=2.
  • x=1: fórmula interna f(1)=-1+3+2=4.
  • x=\tfrac{3}{2}: f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{17}{4}=4{,}25 (máximo local).
  • x=2: f(2)=4.
  • x=3: fórmula externa f(3)=9-3+2=8.
Com esses pontos já dá para esboçar com confiança: para x\le0 desenhar a “cauda” da parábola x^{2}-x+2 que decresce até x=0 (derivada 2x-1 é negativa ali) e atinge f(0)=2; para 0<x<2 desenhar a parábola invertida -x^{2}+3x+2 com pico em x=\tfrac{3}{2}; para x\ge2 desenhar a cauda da mesma parábola de cima x^{2}-x+2 que cresce a partir de x=2.

Passo 7

Análise de extremos e comportamento:
  • Comportamento nas infinitas: como o termo dominante é x^{2} (vem de |x^{2}-2x|), tem f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
  • Extremos:
    • Mínimo global: verificar onde é menor. Observando os valores, f(0)=2 é o menor valor obtido (à esquerda, f decresce até x=0; à direita, dentro de (0,2) a parábola é côncava para baixo e atinge valores ≥2; para x\ge2 a função cresce). Logo mínimo global em x=0 com valor f(0)=2.
    • Máximo local: existe um máximo local (e também global relativo no intervalo (0,2)) em x=\tfrac{3}{2} com f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{17}{4}.

Passo 8

Como esboçar na prova (passo a passo prático):
  1. Marque os pontos-chave: (-1,4), (0,2), (1,4), (\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}), (2,4), (3,8).
  2. Desenhe para x\le0 a curva que segue a parábola x^{2}-x+2 aproximando-se de +\infty à medida que x\to-\infty e passando por (0,2).
  3. Desenhe entre 0 e 2 a parábola invertida -x^{2}+3x+2 com pico em \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{17}{4}\right).
  4. Desenhe para x\ge2 a parte da parábola x^{2}-x+2 que cresce para +\infty.
  5. Verifique que as junções em x=0 e x=2 são suaves em altura (continuidade), mas a derivada muda (há mudança de curvatura), então não há tangente única suave em geral.

Resposta

f(x)=\begin{cases} x^{2}-x+2, & x\le0,\\[4pt] - x^{2}+3x+2, & 0<x<2,\\[4pt] x^{2}-x+2, & x\ge2. \end{cases}
Mínimo global: f(0)=2 em x=0.
Máximo local (no intervalo 0<x<2): f\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{17}{4} em x=\tfrac{3}{2}.]

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