Construa os gráficos das funções reais abaixo
f(x)=|x-3|+x+2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para construir (desenhar) o gráfico da função f definida por f(x)=|x-3|+x+2.
  • Informação dada: a fórmula da função para todo x\in\mathbb{R} é f(x)=|x-3|+x+2.
  • Pergunta implícita: como é o gráfico da função (forma, pontos importantes, continuidade, inclinações)?

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (a ideia que vamos usar)
  • A definição do valor absoluto é: para qualquer número real t\), \[|t|= \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
  • Aqui temos t=x-3\]. Então devemos separar os casos conforme o sinal de \(x-3, isto é, verificar x\ge 3 e x<3.
  • Esse procedimento transforma a expressão com módulo em uma função peça a peça (piecewise), cada peça sendo uma função afim (reta).]

Passo 3

Separando os casos em função de x
Aplicando a definição do valor absoluto com t=x-3, obtemos:
|x-3|= \begin{cases} x-3, & \text{se } x\ge 3,\\[4pt] -(x-3)=3-x, & \text{se } x<3. \end{cases}]

Passo 4

Calcular f(x) no caso x\ge 3
  • Se x\ge 3 então |x-3|=x-3.
  • Substituindo em f:
f(x)=|x-3|+x+2 = (x-3)+x+2.
  • Simplificando:
f(x)=2x-1,\qquad \text{para } x\ge 3.
  • Comentário didático: isso significa que, para x\ge 3, o gráfico é uma reta de inclinação 2 (sobe duas unidades em y para cada unidade em x) e intercepto linear -1 (a reta estendida corta o eixo y em -1, embora esse ponto não pertença à parte x\ge3).

Passo 5

Calcular f(x) no caso x<3
  • Se x<3 então |x-3|=3-x.
  • Substituindo em f:
f(x)=|x-3|+x+2 = (3-x)+x+2.
  • Simplificando:
f(x)=5,\qquad \text{para } x<3.
  • Comentário didático: para x<3 a função é constante igual a 5. No gráfico isso aparece como uma reta horizontal na altura y=5 para todos os x menores que 3.

Passo 6

Ponto de união x=3: continuidade e valor
  • Avaliando em x=3 usando qualquer ramo:
f(3)=|3-3|+3+2=0+3+2=5.
  • Pela peça x\ge 3, f(3)=2\cdot 3-1=5. Pela peça x<3, o limite à esquerda é 5. Portanto a função é contínua em x=3: não há salto.
  • Observação sobre derivada (opcional, para entender o formato): a derivada à esquerda em x=3 é 0 (reta horizontal), e à direita é 2 (inclinação da reta). Logo há uma “quina” (canto) no ponto x=3: contínua, mas não diferenciável ali.

Passo 7

Pontos úteis e comportamento para desenhar
  • Para x<3: todo ponto tem f(x)=5. Exemplos: f(0)=5, f(2)=5, f(-10)=5.
  • Em x=3: f(3)=5.
  • Para x\ge 3: f(x)=2x-1. Exemplos: f(4)=2\cdot4-1=7, f(5)=9.
  • A reta para x\ge3 passa pelo ponto (3,5) (continuidade) e tem declive 2.
  • Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0. Não existe solução porque em x<3 f(x)=5\neq0 e em x\ge3 a equação 2x-1=0 x=\tfrac{1}{2} que não satisfaz x\ge3. Logo nenhum zero.
  • Valor mínimo: f_{\min}=5, atingido para todo x\le 3 (na verdade para x<3 e também em x=3).

Passo 8

Instrução direta para desenhar o gráfico (passo a passo prático)
  1. Trace a reta horizontal y=5 e desenhe-a para x<3. Marque a parte sólida até, mas não incluindo, a linha vertical x=3 — porém como o ponto em x=3 também tem y=5, marque o ponto (3,5) cheio (ponto incluído).
  2. A partir do ponto (3,5) desenhe a reta de equação y=2x-1 para a porção x\ge 3. Ela sobe com inclinação 2.
  3. Verifique alguns pontos para colocar referências: (0,5) (fica na horizontal), (3,5), (4,7), (5,9).
  4. Anote que não há cruzamento com o eixo x e que a função tem mínimo 5 em todo x\le3.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 5, & x<3,\\[4pt] 2x-1, & x\ge 3. \end{cases}]

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