Construa os gráficos das funções reais abaixo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para construir (desenhar) o gráfico da função
definida por . - Informação dada: a fórmula da função para todo
é . - Pergunta implícita: como é o gráfico da função (forma, pontos importantes, continuidade, inclinações)?
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (a ideia que vamos usar)
- A definição do valor absoluto é: para qualquer número real
- Aqui temos
, isto é, verificar
e . - Esse procedimento transforma a expressão com módulo em uma função peça a peça (piecewise), cada peça sendo uma função afim (reta).]
Passo 3
Separando os casos em função de
Aplicando a definição do valor absoluto com
, obtemos:
Passo 4
Calcular
no caso
- Se
então . - Substituindo em
:
- Simplificando:
- Comentário didático: isso significa que, para
, o gráfico é uma reta de inclinação (sobe duas unidades em para cada unidade em ) e intercepto linear (a reta estendida corta o eixo em , embora esse ponto não pertença à parte ).
Passo 5
Calcular
no caso
- Se
então . - Substituindo em
:
- Simplificando:
- Comentário didático: para
a função é constante igual a . No gráfico isso aparece como uma reta horizontal na altura para todos os menores que .
Passo 6
Ponto de união
: continuidade e valor
- Avaliando em
usando qualquer ramo:
- Pela peça
, . Pela peça , o limite à esquerda é . Portanto a função é contínua em : não há salto. - Observação sobre derivada (opcional, para entender o formato): a derivada à esquerda em
é (reta horizontal), e à direita é (inclinação da reta). Logo há uma “quina” (canto) no ponto : contínua, mas não diferenciável ali.
Passo 7
Pontos úteis e comportamento para desenhar
- Para
: todo ponto tem . Exemplos: , , . - Em
: . - Para
: . Exemplos: , . - A reta para
passa pelo ponto (continuidade) e tem declive . - Interseção com o eixo
: resolver . Não existe solução porque em e em a equação dá que não satisfaz . Logo nenhum zero. - Valor mínimo:
, atingido para todo (na verdade para e também em ).
Passo 8
Instrução direta para desenhar o gráfico (passo a passo prático)
- Trace a reta horizontal
e desenhe-a para . Marque a parte sólida até, mas não incluindo, a linha vertical — porém como o ponto em também tem , marque o ponto cheio (ponto incluído). - A partir do ponto
desenhe a reta de equação para a porção . Ela sobe com inclinação . - Verifique alguns pontos para colocar referências:
(fica na horizontal), , , . - Anote que não há cruzamento com o eixo
e que a função tem mínimo em todo .