(4 Pontos) Equações de Segunda Ordem ( a e b constantes)
(0.5) a) Considere a equaçāo y^{\prime \prime}(t)+b y^{\prime}(t)+c y(t)=0, explique o porquê de ser natural supor que as soluções da equaçāo tenham a forma y(t)=e^{\alpha t} e mostre que esta suposiçāo converte a equaçāo diferencial em uma equaçāo algébrica do segundo grau.
(0.5) b) Explique, resumidamente, o procedimento para se obter a soluçāo da equação, y^{\prime \prime}(t)+ b y^{\prime}(t)+c y(t)=f(t).
(1) c) Classifique a EDO y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+y(t)=f(t) e obtenha duas soluções linearmente indempendentes para a equaçāo homogênea associada. Mostre que de fato as soluçāo sāo li. e justifique, a partir deste fato, qual pode ser a soluçāo geral da equaçāo homogênea.
(0.75) d) Resolva a EDO do item c) considerando f(t)=\operatorname{sen} t.
(1.25) e) Resolva a EDO do item c) considerando f(t)=e^{t}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que já estão dadas (sem resolver ainda).
  • Enunciado base: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=0
com a e b constantes (aqui no enunciado aparece b e c como constantes).
As perguntas são:
a) Mostrar por que é natural supor soluções da forma y(t)=e^{\alpha t} e mostrar que isso leva a uma equação algébrica quadrática.
b) Explicar resumidamente o procedimento para obter a solução da equação não homogênea
y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=f(t).
c) Para a EDO específica
y''(t)-2y'(t)+y(t)=f(t),
classificar a EDO, obter duas soluções linearmente independentes da homogênea associada e justificar a forma geral da solução homogênea.
d) Resolver essa EDO com f(t)=\sin t.
e) Resolver essa EDO com f(t)=e^{t}.

Passo 2

Resposta à parte (a): por que assumir y(t)=e^{\alpha t} e como isso vira uma equação algébrica.
  • Intuição didática e concreta: quando uma equação diferencial tem coeficientes constantes, a derivada de uma exponencial e^{\alpha t} é proporcional à própria exponencial:
\frac{d}{dt}e^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{\alpha t}=\alpha^2 e^{\alpha t}.
Isso é conveniente porque ao substituir e^{\alpha t} em uma combinação linear de y,y',y'' cada termo terá um fator e^{\alpha t} comum que pode ser cancelado — reduzindo a equação diferencial a uma equação algébrica em \alpha. Essa é a razão prática e “natural” da suposição.
  • Substituição direta: suponha y(t)=e^{\alpha t}. Então
y'(t)=\alpha e^{\alpha t},\qquad y''(t)=\alpha^{2} e^{\alpha t}.
Substituindo em y''+b y'+c y=0 obtemos, dividindo por e^{\alpha t} (que nunca é zero),
\alpha^{2}+b\alpha+c=0.
Essa é a equação algébrica do segundo grau chamada de equação característica (ou polinômio característico).

Passo 3

Resposta à parte (b): procedimento resumido para resolver
y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=f(t).
  • Passos principais (fórmula conceitual):
    1. Resolver a equação característica \alpha^{2}+b\alpha+c=0. Isso dá as raízes \alpha_1,\alpha_2.
    2. Construir a solução geral da equação homogênea y_h dependendo do tipo de raízes:
      • se \alpha_1\neq\alpha_2 reais distintas: y_h=C_1 e^{\alpha_1 t}+C_2 e^{\alpha_2 t};
      • se há raiz dupla \alpha_1=\alpha_2=\alpha: y_h=(C_1+C_2 t)e^{\alpha t};
      • se raízes complexas conjugadas \alpha=\mu\pm i\nu: y_h=e^{\mu t}\big(C_1\cos(\nu t)+C_2\sin(\nu t)\big).
    3. Encontrar uma solução particular y_p de y''+b y'+c y=f(t). Métodos comuns:
      • método dos coeficientes indeterminados: tentar uma forma para y_p apropriada ao tipo de f(t) (polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou combinações) e ajustar coeficientes; se a tentativa for solução da homogênea, multiplica-se por potências de t até eliminar a ressonância.
      • variação de parâmetros: método geral que usa y_h para construir y_p, válido para qualquer f(t).
    4. A solução geral é
    y(t)=y_h(t)+y_p(t).
  • Observação prática: em provas, para f(t) do tipo exponencial, polinomial, \sin, \cos ou combinações, costuma-se usar coeficientes indeterminados; para f(t) mais gerais, variar parâmetros.

Passo 4

Resposta à parte (c): classificar a EDO e achar duas soluções LI da homogênea.
  • Classificação: \;y''-2y'+y=f(t) é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes; é não-homogênea quando f\not\equiv0 e homogênea quando f\equiv0.
  • Equação característica da homogênea associada:
\alpha^{2}-2\alpha+1=0.
Factorizando,
(\alpha-1)^{2}=0,
logo raiz dupla \alpha=1 (multiplicidade 2).
  • Para uma raiz dupla \alpha=1, as duas soluções linearmente independentes conhecidas são
y_1(t)=e^{t},\qquad y_2(t)=t e^{t}.
  • Verificação de linearidade independente (usar Wronskiano): o Wronskiano é
W(y_1,y_2)(t)=\begin{vmatrix} e^{t} & t e^{t} \\\ e^{t} & e^{t}+t e^{t} \end{vmatrix} = e^{t}(e^{t}+t e^{t}) - t e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}\neq0\\ \text{para todo }t.
Como o Wronskiano é não nulo, y_1 e y_2 são linearmente independentes.
  • Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 5

Resposta à parte (d): resolver para f(t)=\sin t.
  • Método escolhido: coeficientes indeterminados, pois \sin t é função do tipo seno/cosseno (admitida pelo método).
  • Observação de ressonância: a forma tentativa A\cos t+B\sin t é válida se e^{i t} (i.e. \pm i) não for raiz da característica. Aqui a raiz é \alpha=1, portanto sem ressonância com \pm i. Então tentamos
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
com A,B constantes a determinar.
  • Calcular derivadas:
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,\qquad y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
  • Substituir em y''-2y'+y:
y_p''-2y_p'+y_p = (-A\cos t - B\sin t) -2(-A\sin t + B\cos t) + (A\cos t + B\sin t).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
\text{coeficiente de }\cos t: -A -2B + A = -2B,
\text{coeficiente de }\sin t: -B +2A + B = 2A.
Logo
y_p''-2y_p'+y_p = (-2B)\cos t + (2A)\sin t.
Isso deve ser igual a f(t)=\sin t = 0\cdot\cos t + 1\cdot\sin t. Igualando coeficientes,
-2B=0 \Rightarrow B=0,\qquad 2A=1 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Assim
y_p(t)=\tfrac{1}{2}\cos t.
  • Solução geral da EDO não homogênea:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=(C_1+C_2 t)e^{t}+\tfrac{1}{2}\cos t.

Passo 6

Resposta à parte (e): resolver para f(t)=e^{t}.
  • Observação de ressonância: e^{t} é solução da homogênea, pois \alpha=1 é raiz dupla. Como a raiz 1 tem multiplicidade 2, a regra dos coeficientes indeterminados pede multiplicar a tentativa por t^{s} onde s é a multiplicidade (aqui s=2). Portanto tentamos uma particular da forma
y_p(t)=A t^{2} e^{t},
com A constante.
  • Calcular derivadas (fazer passo a passo):
y_p'(t)=A\big(2t e^{t} + t^{2} e^{t}\big)=A e^{t}(t^{2}+2t),
y_p''(t)=A\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t^{2}+2t)\big) = A e^{t}(t^{2}+2t) + A e^{t}(2t+2) = A e^{t}(t^{2}+4t+2).
  • Substituir em y''-2y'+y:
y_p''-2y_p'+y_p = A e^{t}\big[(t^{2}+4t+2) -2(t^{2}+2t) + t^{2}\big].
Calcule o conteúdo entre colchetes:
(t^{2}+4t+2) -2(t^{2}+2t) + t^{2} = t^{2}+4t+2 -2t^{2}-4t + t^{2} = 2.
Portanto
y_p''-2y_p'+y_p = A e^{t}\cdot 2 = 2A e^{t}.
  • Igualando ao lado direito f(t)=e^{t} obtemos 2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • Logo
y_p(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}e^{t}.
  • Solução geral da EDO não homogênea:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=(C_1+C_2 t)e^{t}+\tfrac{1}{2}t^{2}e^{t} = e^{t}\Big(C_1 + C_2 t + \tfrac{1}{2}t^{2}\Big).

Resposta

a) Assumir y(t)=e^{\alpha t} é natural porque derivadas de e^{\alpha t} são proporcionais a e^{\alpha t}; a substituição leva à equação característica \alpha^{2}+b\alpha+c=0.
b) Procedimento: resolver a característica \alpha^{2}+b\alpha+c=0 para obter y_h; achar uma particular y_p por coeficientes indeterminados (ou variação de parâmetros); solução geral y=y_h+y_p.
c) A EDO é linear de 2ª ordem com coeficientes constantes (não homogênea se f\neq0). Soluções da homogênea: y_1(t)=e^{t}, y_2(t)=t e^{t} (são linearmente independentes, Wronskiano =e^{2t}\neq0). Solução geral homogênea y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{t}.
d) Para f(t)=\sin t: y(t)=(C_1+C_2 t)e^{t}+\tfrac{1}{2}\cos t.
e) Para f(t)=e^{t}: y(t)=e^{t}\Big(C_1 + C_2 t + \tfrac{1}{2}t^{2}\Big).

Exercícios relacionados