Construa os gráficos das funções reais abaixo
f(x)=|3 x+2|-2 x+3

Passo 1

O enunciado pede que se construa o gráfico da função
f(x)=|3x+2|-2x+3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (não há divisão por zero nem raiz de índice par com negativo).
  • O argumento da função valor absoluto é 3x+2. O ponto onde esse argumento muda de sinal é importante para dividir em ramos. Esse ponto será \,x=-\dfrac{2}{3}\, (valor em que 3x+2=0).
  • O objetivo final é obter um esboço do gráfico (mostrar as retas que formam os ramos, o vértice/quina, inclinações e pontos úteis para desenhar).

Passo 2

Como a função envolve valor absoluto, a maneira padrão de proceder é usar a definição por partes do valor absoluto:
|A|= \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=3x+2. Isso significa que precisamos estudar dois casos: 3x+2\ge0 e 3x+2<0. Vou explicar isso com calma: o valor absoluto “vira” a expressão quando o interior é negativo (multiplica por -1); quando o interior é não negativo, deixa a expressão como está. Então dividimos o eixo x no ponto onde 3x+2=0, isto é em x=-\dfrac{2}{3}, e escrevemos a função em cada região.]

Passo 3

Trabalhando cada ramo:
  • Caso 1: 3x+2\ge0, isto é \,x\ge -\dfrac{2}{3}.)
    Neste caso |3x+2|=3x+2. Substituindo em f:
    f(x)=(3x+2)-2x+3.
    Agora simplifico somando termos semelhantes: 3x-2x = x e 2+3=5. Logo, para x\ge -\dfrac{2}{3}:
    f(x)=x+5.
    Esta é uma reta de inclinação (coeficiente angular) 1 e ordenada na origem 5 (isto é, passa por (0,5)).
  • Caso 2: 3x+2<0, isto é \,x< -\dfrac{2}{3}.
    Neste caso |3x+2|=-(3x+2)=-3x-2. Substituindo:
    f(x)=(-3x-2)-2x+3.
    Agrupando termos: -3x-2x=-5x e -2+3=1. Logo, para x< -\dfrac{2}{3}:
    f(x)=-5x+1.
    Esta é uma reta de inclinação -5 e ordenada na origem 1 (se estendêssemos a reta para todo x, mas este ramo vale apenas à esquerda de -\tfrac{2}{3}).
Portanto a função fica descrita por partes como abaixo (resumo):
f(x)= \begin{cases} -5x+1, & x< -\dfrac{2}{3},\\[4pt] x+5, & x\ge -\dfrac{2}{3}. \end{cases}]

Passo 4

Verificações e pontos chave para desenhar o gráfico:
  • Continuidade no ponto de junção x=-\dfrac{2}{3}:
    calculo o valor das duas expressões em x=-\dfrac{2}{3}. \text{Se }x=-\dfrac{2}{3},\quad -5x+1=-5\left(-\dfrac{2}{3}\right)+1=\dfrac{10}{3}+1=\dfrac{13}{3},
\text{e}\quad x+5=-\dfrac{2}{3}+5=\dfrac{-2+15}{3}=\dfrac{13}{3}.
Como os dois dão \dfrac{13}{3}, a função é contínua e tem uma quina (canto) no ponto
\left(-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{13}{3}\right)\approx(-0{,}666\,,\,4{,}333).
  • Comportamento das inclinações:
    • Para x< -\dfrac{2}{3} a inclinação é -5 (reta decrescente e bastante íngreme para a esquerda).
    • Para x\ge -\dfrac{2}{3} a inclinação é +1 (reta crescente suave para a direita).
      Isso indica que o ponto \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{13}{3}\right) é um mínimo global (as duas retas sobem quando se afasta desse ponto).
  • Interseção com o eixo y (quando x=0):
    f(0)=|2|-0+3=2+3=5,
    que coincide com a expressão x+5 em x=0, então o gráfico passa por (0,5).
  • Alguns pontos úteis para desenhar:
    • Para o ramo à esquerda: x=-1\Rightarrow f(-1)=-5(-1)+1=6, ponto (-1,6).
    • Para o ramo à direita: x=1\Rightarrow f(1)=1+5=6, ponto (1,6).
      Esses pontos mostram como o gráfico sobe para valores maiores de |x|.
  • Sinal de f: em ambos os ramos, avaliando nos extremos de cada região, f é sempre positivo (por exemplo no vértice f=\dfrac{13}{3}>0), portanto não há raízes reais (o gráfico nunca cruza o eixo x).

Passo 5

Como desenhar na prática (instruções passo a passo para esboço à mão):
  1. Marque o ponto de quina \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{13}{3}\right) (aprox. (-0{,}67,4{,}33)).
  2. Trace, à esquerda desse ponto, a reta de inclinação -5 que passa por ele. Para facilitar, use o ponto (-1,6) também: ligue os pontos (-1,6) e \left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{13}{3}\right) e estenda a reta para a esquerda.
  3. Trace, à direita do ponto de quina, a reta de inclinação +1 que passa pelo ponto de quina. Use o ponto (0,5) e (1,6) para posicionar a reta e estendê-la para a direita.
  4. Não feche curva; são dois ramos lineares que se encontram na quina. Coloque setas nas extremidades para indicar que as retas continuam indefinidamente.
  5. Verifique posição relativa: ambas as extremidades sobem para +\infty quando |x|\to\infty, com a parte esquerda subindo mais rapidamente devido a inclinação -5 (quando x\to-\infty, -5x\to+\infty) e a parte direita subindo mais lentamente (inclinação +1).

Resposta

f(x)= \begin{cases} -5x+1, & x< -\dfrac{2}{3},\\[6pt] x+5, & x\ge -\dfrac{2}{3}. \end{cases}]

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