Construa os gráficos das funções reais abaixo
f(x)=|2 x-1|+x-2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • É dada a função f(x)=|2x-1|+x-2.
  • O pedido é “construir os gráficos” — ou seja, obter a forma explícita (peça a peça) de f, identificar pontos importantes (interceptos, mínimo, intervalos de crescimento/decrescimento) e descrever como desenhar o gráfico.
  • Informação relevante: a função usa valor absoluto |\cdot|, cuja “quebra” ocorre quando o argumento do módulo é zero. Aqui o argumento é 2x-1.

Passo 2

Entender e trabalhar com valor absoluto de forma didática:
  • Lembre que, para qualquer expressão u\), vale a identidade \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
  • Aqui u=2x-1\]. Primeiro encontro o ponto onde \(u=0:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
  • Conclusão: a função será dada por duas expressões lineares, uma para x<\tfrac{1}{2} e outra para x\ge \tfrac{1}{2}. Isso é típico: gráfico de expressão com módulo é junção de retas.]

Passo 3

Construir explicitamente as duas peças (faça passo a passo a álgebra):
  • Se x<\tfrac{1}{2} então 2x-1<0, logo |2x-1|=-(2x-1)=1-2x. Substituindo em f:
f(x) = (1-2x)+x-2 = 1-2x+x-2 = -x-1.
  • Se x\ge \tfrac{1}{2} então 2x-1\ge 0, logo |2x-1|=2x-1. Substituindo:
f(x) = (2x-1)+x-2 = 3x-3.
  • Portanto a forma peça-a-peça é
f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 3x-3, & x\ge \tfrac{1}{2}. \end{cases}]

Passo 4

Verificar continuidade no ponto de quebra x=\tfrac{1}{2} (isso mostra se as retas se juntam sem salto):
  • Valor à esquerda: \displaystyle \lim_{x\to(\tfrac{1}{2})^-} f(x) = -\tfrac{1}{2}-1 = -\tfrac{3}{2}.
  • Valor à direita (e valor em x=\tfrac{1}{2} porque a definição usa \ge): \displaystyle f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=3\cdot\tfrac{1}{2}-3=\tfrac{3}{2}-3=-\tfrac{3}{2}.
  • Como os dois são iguais, a função é contínua em x=\tfrac{1}{2}. As duas retas se encontram num mesmo ponto.

Passo 5

Achar pontos importantes para desenhar (interceptos, ponto de mínimo, inclinações) — tudo passo a passo:
  • Slope (inclinação) de cada ramo:
    • Para x<\tfrac{1}{2}: f(x)=-x-1 tem coeficiente angular -1 (reta decrescente).
    • Para x\ge \tfrac{1}{2}: f(x)=3x-3 tem coeficiente angular 3 (reta crescente).
  • Valor no ponto de encontro x=\tfrac{1}{2}:
f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{3}{2}.
Esse é um ponto de mínimo (explico por que no próximo passo).
  • Intercepto em y (quando x=0): como 0<\tfrac{1}{2} usamos a peça -x-1:
f(0)=-0-1=-1,
logo ponto \bigl(0,-1\bigr).
  • Interceptos em x (resolver f(x)=0 em cada peça):
    • Na peça esquerda -x-1=0 x=-1. Verifico x=-1<\tfrac{1}{2}, então é válido: intercepto (-1,0).
    • Na peça direita 3x-3=0 x=1. Verifico 1\ge\tfrac{1}{2}, então é válido: intercepto (1,0).
  • Listando pontos úteis para desenhar:
    • (-1,0), (0,-1) (ambos na reta de inclinação -1),
    • \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr) (ponto de encontro / mínimo),
    • (1,0) e mais um ponto na reta direita, por exemplo (2,3) (porque 3\cdot2-3=3), para garantir inclinação visual.

Passo 6

Interpretação geométrica e instruções práticas para desenhar sem calculadora:
  • A peça esquerda é a reta de equação y=-x-1 válida para x<\tfrac{1}{2}. Ela tem inclinação -1 (descendo 1 unidade em y quando x sobe 1) e passa por (-1,0) e (0,-1). Desenhe essa reta até o ponto \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr) (marque esse ponto aberto ou cheio? aqui é cheio porque a definição da peça à direita também engloba x=\tfrac{1}{2} e os valores coincidem — portanto marque como ponto cheio).
  • A peça direita é a reta de equação y=3x-3 válida para x\ge\tfrac{1}{2}. Ela tem inclinação 3 (subindo 3 unidades em y quando x sobe 1), passa por (1,0) e pelo ponto de encontro \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr). Desenhe essa reta para a direita a partir desse ponto.
  • Observação sobre monotonicidade: como a inclinação muda de negativa para positiva em x=\tfrac{1}{2}, esse ponto é mínimo global. Assim f é decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}] e crescente em [\tfrac{1}{2},+\infty).
  • Intervalo de valores (imagem): mínimo -\tfrac{3}{2} em x=\tfrac{1}{2}, e a função cresce para +\infty nas duas extremidades (à esquerda, quando x\to-\infty, a peça -x-1\to+\infty; à direita, 3x-3\to+\infty quando x\to+\infty). Logo a imagem é \bigl[-\tfrac{3}{2},+\infty\bigr).

Passo 7

Resumo curto do que desenhar (passo-a-passo prático):
  1. Marque os pontos (-1,0), (0,-1) e \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr). Una (-1,0) a \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr) por uma reta de inclinação -1.
  2. Marque os pontos \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr), (1,0) e (2,3). Una \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr) a esses por uma reta de inclinação 3.
  3. Marque o ponto de encontro \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr) como ponto fechado (a função é contínua ali). Pronto: duas retas que se encontram formando um “V” assimétrico com o vértice em \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).

Resposta

f(x)=\begin{cases} -x-1, & x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 3x-3, & x\ge \tfrac{1}{2}, \end{cases}
Interceptos: (-1,0) e (1,0).
Ponto de mínimo: \bigl(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\bigr).
Y-intercepto: (0,-1).
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}], crescente em [\tfrac{1}{2},+\infty).
Imagem: \bigl[-\tfrac{3}{2},+\infty\bigr).]

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