Construa os gráficos das funções reais abaixo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- É dada a função
. - O pedido é “construir os gráficos” — ou seja, obter a forma explícita (peça a peça) de
, identificar pontos importantes (interceptos, mínimo, intervalos de crescimento/decrescimento) e descrever como desenhar o gráfico. - Informação relevante: a função usa valor absoluto
, cuja “quebra” ocorre quando o argumento do módulo é zero. Aqui o argumento é .
Passo 2
Entender e trabalhar com valor absoluto de forma didática:
- Lembre que, para qualquer expressão
- Aqui :
- Conclusão: a função será dada por duas expressões lineares, uma para
e outra para . Isso é típico: gráfico de expressão com módulo é junção de retas.]
Passo 3
Construir explicitamente as duas peças (faça passo a passo a álgebra):
- Se
então , logo . Substituindo em :
- Se
então , logo . Substituindo:
- Portanto a forma peça-a-peça é
Passo 4
Verificar continuidade no ponto de quebra
(isso mostra se as retas se juntam sem salto):
- Valor à esquerda:
- Valor à direita (e valor em
porque a definição usa ): - Como os dois são iguais, a função é contínua em
. As duas retas se encontram num mesmo ponto.
Passo 5
Achar pontos importantes para desenhar (interceptos, ponto de mínimo, inclinações) — tudo passo a passo:
- Slope (inclinação) de cada ramo:
- Para
: tem coeficiente angular (reta decrescente). - Para
: tem coeficiente angular (reta crescente).
- Para
- Valor no ponto de encontro
:
Esse é um ponto de mínimo (explico por que no próximo passo).
- Intercepto em
(quando ): como usamos a peça :
logo ponto
.
- Interceptos em
(resolver em cada peça): - Na peça esquerda
dá . Verifico , então é válido: intercepto . - Na peça direita
dá . Verifico , então é válido: intercepto .
- Na peça esquerda
- Listando pontos úteis para desenhar:
-
, (ambos na reta de inclinação ), -
(ponto de encontro / mínimo), -
e mais um ponto na reta direita, por exemplo (porque ), para garantir inclinação visual.
-
Passo 6
Interpretação geométrica e instruções práticas para desenhar sem calculadora:
- A peça esquerda é a reta de equação
válida para . Ela tem inclinação (descendo 1 unidade em quando sobe 1) e passa por e . Desenhe essa reta até o ponto (marque esse ponto aberto ou cheio? aqui é cheio porque a definição da peça à direita também engloba e os valores coincidem — portanto marque como ponto cheio). - A peça direita é a reta de equação
válida para . Ela tem inclinação (subindo 3 unidades em quando sobe 1), passa por e pelo ponto de encontro . Desenhe essa reta para a direita a partir desse ponto. - Observação sobre monotonicidade: como a inclinação muda de negativa para positiva em
, esse ponto é mínimo global. Assim é decrescente em e crescente em . - Intervalo de valores (imagem): mínimo
em , e a função cresce para nas duas extremidades (à esquerda, quando , a peça ; à direita, quando ). Logo a imagem é .
Passo 7
Resumo curto do que desenhar (passo-a-passo prático):
- Marque os pontos
, e . Una a por uma reta de inclinação . - Marque os pontos
, e . Una a esses por uma reta de inclinação . - Marque o ponto de encontro
como ponto fechado (a função é contínua ali). Pronto: duas retas que se encontram formando um “V” assimétrico com o vértice em .
Resposta
Interceptos:
e
.
Ponto de mínimo: .
Y-intercepto: .
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
.
Imagem: .]
Ponto de mínimo:
Y-intercepto:
Monotonicidade: decrescente em
Imagem: