Construa o gráfico da função
(a) Escreva a função na forma definida por partes.
(b) Determine o vértice e as interseções com o eixo
.
(b) Determine o vértice e as interseções com o eixo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) escrever a função na forma definida por partes;
- (b) determinar o vértice do gráfico e as interseções com o eixo
.
Informações relevantes: a função envolve o valor absoluto
e uma constante
subtraída; por isso o gráfico será o gráfico de
deslocado verticalmente.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (mini-aula rápida e prática).
Definição: o valor absoluto de um número
Exemplos para fixar:
. Note que
para todo
, e o menor valor possível de
é
, atingido em
.]
Passo 3
Usando a definição de [|x|) para escrever
por partes.
Substituindo a definição em
:
Aqui a ideia é: para
, então subtrai-se
; para
o valor absoluto é
, então subtrai-se
. Essa é a forma por partes pedida.]
Passo 4
Como é o gráfico — interpretação geométrica e construção passo a passo.
- O gráfico de
é um “V” com vértice em : para é a reta de equação (inclinação ); para é a reta (inclinação ). - A função
é justamente o gráfico de deslocado verticalmente para baixo em unidades. Então o vértice se desloca de para . - As duas partes lineares tornam-se:
- para
: (reta com inclinação interceptando o eixo em ); - para
: (reta com inclinação interceptando o eixo em ).
- para
Para esboçar o gráfico na prova: marque o vértice
, marque os pontos onde cruza o eixo
(ver passo seguinte) e ligue com retas de inclinações
.
Passo 5
Cálculo das interseções com o eixo
(passo a passo algébrico).
Interseção com o eixo
significa
. Resolve-se
Da definição do valor absoluto segue
Portanto as interseções com o eixo
são os pontos
e
.
Passo 6
Determinação do vértice (por raciocínio direto e checagem).
- Como
atinge seu mínimo em , a função atinge seu mínimo em e o valor mínimo é . - Logo o vértice do “V” é o ponto
. - Observação: este ponto também é a interseção com o eixo
(ou seja, o intercepto em é ).
Passo 7
Resumo de como desenhar rápido: coloque os pontos
,
e
; trace a reta que passa por
e
para a parte à esquerda (
) e a reta que passa por
e
para a parte à direita (
). Essas retas têm inclinações
e
, respectivamente.
Resposta
(a)
(b) vértice:
interseções com o eixo :
e
]
interseções com o eixo