Construa o gráfico da função
f(x)=|x|-3
(a) Escreva a função na forma definida por partes.
(b) Determine o vértice e as interseções com o eixo x.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=|x|-3
e pede duas coisas:
  • (a) escrever a função na forma definida por partes;
  • (b) determinar o vértice do gráfico e as interseções com o eixo x.
Informações relevantes: a função envolve o valor absoluto |x| e uma constante -3 subtraída; por isso o gráfico será o gráfico de |x| deslocado verticalmente.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (mini-aula rápida e prática).
Definição: o valor absoluto de um número x\) mede a distância de \(x\) até zero na reta real. Formalmente, \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Exemplos para fixar: |2|=2\], \(|-3|=3. Note que |x|\ge 0 para todo x, e o menor valor possível de |x| é 0, atingido em x=0.]

Passo 3

Usando a definição de [|x|) para escrever f(x)=|x|-3 por partes.
Substituindo a definição em f:
f(x)=|x|-3= \begin{cases} x-3, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x-3, & \text{se }x<0. \end{cases}
Aqui a ideia é: para x\ge 0\] o valor absoluto é \(x, então subtrai-se 3; para x<0 o valor absoluto é -x, então subtrai-se 3. Essa é a forma por partes pedida.]

Passo 4

Como é o gráfico — interpretação geométrica e construção passo a passo.
  • O gráfico de y=|x| é um “V” com vértice em (0,0): para x\ge 0 é a reta de equação y=x (inclinação +1); para x<0 é a reta y=-x (inclinação -1).
  • A função f(x)=|x|-3 é justamente o gráfico de y=|x| deslocado verticalmente para baixo em 3 unidades. Então o vértice se desloca de (0,0) para (0,-3).
  • As duas partes lineares tornam-se:
    • para x\ge 0: y=x-3 (reta com inclinação 1 interceptando o eixo y em -3);
    • para x<0: y=-x-3 (reta com inclinação -1 interceptando o eixo y em -3).
Para esboçar o gráfico na prova: marque o vértice (0,-3), marque os pontos onde cruza o eixo x (ver passo seguinte) e ligue com retas de inclinações \pm1.

Passo 5

Cálculo das interseções com o eixo x (passo a passo algébrico).
Interseção com o eixo x significa f(x)=0. Resolve-se
|x|-3=0 \quad\Longrightarrow\quad |x|=3.
Da definição do valor absoluto segue
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-3.
Portanto as interseções com o eixo x são os pontos (-3,0) e (3,0).

Passo 6

Determinação do vértice (por raciocínio direto e checagem).
  • Como |x| atinge seu mínimo 0 em x=0, a função f(x)=|x|-3 atinge seu mínimo em x=0 e o valor mínimo é -3.
  • Logo o vértice do “V” é o ponto (0,-3).
  • Observação: este ponto também é a interseção com o eixo y (ou seja, o intercepto em y é (0,-3)).

Passo 7

Resumo de como desenhar rápido: coloque os pontos (-3,0), (0,-3) e (3,0); trace a reta que passa por (-3,0) e (0,-3) para a parte à esquerda ( x<0) e a reta que passa por (0,-3) e (3,0) para a parte à direita ( x\ge 0). Essas retas têm inclinações -1 e +1, respectivamente.

Resposta

(a) f(x)=\begin{cases} x-3, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x-3, & \text{se }x<0. \end{cases}
(b) vértice: (0,-3)
interseções com o eixo x: (-3,0) e (3,0)]

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