Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.11 Suponha que uma amostra de n=10 fornecesse s^{2}=2,25. Quais os limites de confiança a 80% para a verdadeira variância? R : [1,38-4,86]

Passo 1

O enunciado pede: construir um intervalo de confiança de 80\% para a verdadeira variância \sigma^{2}, dado que uma amostra de tamanho n=10 apresentou variância amostral s^{2}=2,25.
Informações importantes fornecidas:
  • n=10 (tamanho da amostra).
  • s^{2}=2,25 (variância amostral).
  • Nível de confiança: 80\%.

Passo 2

Explicando a ideia e a fórmula que vamos usar (aula rápida):
Quando a amostra vem de uma população normal, o estatístico
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
tem distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui:
  • S^{2} é a variância amostral (aqui s^{2}).
  • \sigma^{2} é a variância verdadeira (o parâmetro que queremos estimar).
  • n-1 é o número de graus de liberdade.
Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0{,}80), as quantias \chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1} e \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1} (quantis da distribuição \chi^{2} com n-1 graus) satisfazem
P\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \le \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}\right)=1-\alpha.
Isolando \sigma^{2} obtemos o intervalo de confiança
\frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}} \le \sigma^{2} \le \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}.
Explicando cada termo:
  • (n-1)S^{2} é simplesmente a soma dos quadrados centrados dividida por 1 (um fator de escala).
  • \chi^{2}_{p,\,\nu} é o ponto tal que P(\chi^{2}_{\nu} \le \chi^{2}_{p,\,\nu}) = p.

Passo 3

Aplicando aos números do problema:
  • n-1=10-1=9.
  • (n-1)s^{2} = 9 \times 2,25 = 20,25.
  • Como queremos 80\% de confiança, 1-\alpha=0{,}80 então \alpha=0{,}20 e \alpha/2=0{,}10.
Logo precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}10,\,9} (percentil 10\% com 9 graus) e \chi^{2}_{0{,}90,\,9} (percentil 90\% com 9 graus).

Passo 4

Pegando os valores na tabela de qui‑quadrado (ou em calculadora estatística):
  • \chi^{2}_{0{,}10,\,9} \approx 4{,}168. (valor do percentil 10\% para \nu=9)
  • \chi^{2}_{0{,}90,\,9} \approx 14{,}684. (valor do percentil 90\% para \nu=9)
Observação: esses números vêm da tabela de \chi^{2} ou de software; para fazer na prova sem calculadora normalmente a tabela será fornecida.

Passo 5

Calcular os limites do intervalo usando a fórmula:
limite inferior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}} = \frac{20{,}25}{\chi^{2}_{0{,}90,\,9}} = \frac{20{,}25}{14{,}684} \approx 1{,}379 \approx 1{,}38.
limite superior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}} = \frac{20{,}25}{\chi^{2}_{0{,}10,\,9}} = \frac{20{,}25}{4{,}168} \approx 4{,}859 \approx 4{,}86.

Passo 6

Interpretação didática (importante): o intervalo de confiança de 80\% para \sigma^{2} é aproximadamente [1{,}38\,,\,4{,}86]. Isso significa que, repetindo muitas vezes o processo de amostragem e construindo o intervalo com o mesmo método, aproximadamente 80\% desses intervalos conteriam a verdadeira variância \sigma^{2}. Não se pode dizer que "a probabilidade de \sigma^{2} estar no intervalo é 80\%" para o intervalo calculado a partir dos dados — a interpretação é sobre o procedimento repetido.
Dica prática para prova: memorize a fórmula do intervalo para \sigma^{2} (a que usa \chi^{2}), saiba identificar \alpha/2 e n-1, e use a tabela para obter os quantis necessários.

Resposta

\\ [1,38\text{ -- }4,86]

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