Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.7 Dados
e
, determinar os intervalos de confiança para
aos níveis de 90% e 95%. Respectivos resultados: [104,2-115,8] e [102,84-117,16]
1.7 Dados
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
.
O que se pede: - Determinar o intervalo de confiança para
ao nível de . - Determinar o intervalo de confiança para
ao nível de .
Passo 2
Escolha do método e fórmula a usar (explicação didática do porquê).
- Quando queremos estimar a média populacional
e a variância populacional é desconhecida (situação da maioria dos problemas práticos), usamos o desvio-padrão amostral no lugar de . - Se a amostra é pequena (tipicamente
), a distribuição da estatística padronizada
não segue a normal padrão, mas sim a distribuição
de Student com
graus de liberdade. Por isso usamos a distribuição
(e não a
normal) neste problema. Aqui os graus de liberdade são
.
- A fórmula geral do intervalo de confiança para
(quando é desconhecida) é
em que:
-
é a média amostral (a estimativa pontual de ); -
é o quantil (crítico) da distribuição com graus de liberdade, tal que a área à direita é ; -
é o desvio-padrão amostral; -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; - o nível de confiança é
(ex.: ; ).
Passo 3
Calcular o erro padrão (standard error) da média, que é a parte
da fórmula.
- Primeiro calculemos
:
- Agora o erro padrão:
Observação: aqui ficou interessante numericamente porque
, por isso
.
Passo 4
Determinar os valores críticos
(consulta em tabela
ou calculadora).
- Para nível de confiança
temos e . O quantil procurado é . Consultando a tabela (ou uma calculadora estatística) obtemos
- Para nível de confiança
temos e . O quantil procurado é . Da tabela obtemos
Comentário prático: em prova sem calculadora costuma-se usar a tabela
fornecida; memorize os valores comuns ou saiba consultá-la.
Passo 5
Calcular a margem de erro para cada nível usando
- Para
:
- Para
:
Expliquei os arredondamentos: mantive duas casas decimais nos resultados finais das margens para combinar com os intervalos pedidos.
Passo 6
Construir os intervalos de confiança somando/subtraindo a margem de erro da média amostral
.
- Para o nível de
:
Logo o intervalo é
.
- Para o nível de
:
Logo o intervalo é
.
Passo 7
Interpretação didática e prática (como falar na prova).
- O que significa o intervalo de confiança de, por exemplo,
? Significa que o procedimento usado (coletar amostra do mesmo tamanho, calcular e construir o intervalo ) produziria, em média, intervalos que contêm o verdadeiro valor de em das repetições. - Não se deve dizer literalmente que “há
de probabilidade de que esteja no intervalo” para o intervalo já construído (essa interpretação é bayesiana). A forma correta (frequentista) é a frase anterior sobre o método que gera intervalos com cobertura de . - Resumindo de modo prático e aceito em provas: pode-se escrever "Estou
confiante de que está entre e ". Isso é entendido como a interpretação usual em estatística aplicada. - Dica rápida para a prova: identificar logo se
é conhecida; se não for e é pequeno, use com graus de liberdade; calcule ; busque na tabela; calcule .