Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.7 Dados n=10, \bar{x}=110 e s=10, determinar os intervalos de confiança para \mu aos níveis de 90% e 95%. Respectivos resultados: [104,2-115,8] e [102,84-117,16]

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Média amostral: \bar{x}=110.
  • Desvio-padrão amostral: s=10.
    O que se pede:
  • Determinar o intervalo de confiança para \mu ao nível de 90\%.
  • Determinar o intervalo de confiança para \mu ao nível de 95\%.

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar (explicação didática do porquê).
  • Quando queremos estimar a média populacional \mu e a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (situação da maioria dos problemas práticos), usamos o desvio-padrão amostral s no lugar de \sigma.
  • Se a amostra é pequena (tipicamente n<30), a distribuição da estatística padronizada
\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}
não segue a normal padrão, mas sim a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Por isso usamos a distribuição t (e não a z normal) neste problema. Aqui os graus de liberdade são n-1=9.
  • A fórmula geral do intervalo de confiança para \mu (quando \sigma é desconhecida) é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
em que:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual de \mu);
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil (crítico) da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área à direita é \alpha/2;
  • s é o desvio-padrão amostral;
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra;
  • o nível de confiança é 1-\alpha (ex.: 90\%\Rightarrow\alpha=0,10; 95\%\Rightarrow\alpha=0,05).

Passo 3

Calcular o erro padrão (standard error) da média, que é a parte \dfrac{s}{\sqrt{n}} da fórmula.
  • Primeiro calculemos \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623.
  • Agora o erro padrão:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\frac{10}{3{,}1623}\approx 3{,}1623.
Observação: aqui ficou interessante numericamente porque 10/\sqrt{10}=\sqrt{10}, por isso \text{SE}\approx 3{,}1623.

Passo 4

Determinar os valores críticos t_{\alpha/2,\,9} (consulta em tabela t ou calculadora).
  • Para nível de confiança 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O quantil procurado é t_{0{,}05,\,9}. Consultando a tabela t (ou uma calculadora estatística) obtemos
t_{0{,}05,\,9}\approx 1{,}833.
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O quantil procurado é t_{0{,}025,\,9}. Da tabela t obtemos
t_{0{,}025,\,9}\approx 2{,}262.
Comentário prático: em prova sem calculadora costuma-se usar a tabela t fornecida; memorize os valores comuns ou saiba consultá-la.

Passo 5

Calcular a margem de erro para cada nível usando
\text{ME}=t_{\alpha/2,\,9}\cdot\text{SE}.
  • Para 90\%:
\text{ME}_{90\%}=1{,}833\cdot 3{,}1623\approx 5{,}795\approx 5{,}8.
  • Para 95\%:
\text{ME}_{95\%}=2{,}262\cdot 3{,}1623\approx 7{,}157\approx 7{,}16.
Expliquei os arredondamentos: mantive duas casas decimais nos resultados finais das margens para combinar com os intervalos pedidos.

Passo 6

Construir os intervalos de confiança somando/subtraindo a margem de erro da média amostral \bar{x}=110.
  • Para o nível de 90\%:
\text{Limite inferior}=110-5{,}8=104{,}2, \qquad \text{Limite superior}=110+5{,}8=115{,}8.
Logo o intervalo é [104{,}2\;-\;115{,}8].
  • Para o nível de 95\%:
\text{Limite inferior}=110-7{,}16=102{,}84, \qquad \text{Limite superior}=110+7{,}16=117{,}16.
Logo o intervalo é [102{,}84\;-\;117{,}16].

Passo 7

Interpretação didática e prática (como falar na prova).
  • O que significa o intervalo de confiança de, por exemplo, 95\%? Significa que o procedimento usado (coletar amostra do mesmo tamanho, calcular \bar{x} e construir o intervalo \bar{x}\pm t_{0{,}025,\,9}\,s/\sqrt{n}) produziria, em média, intervalos que contêm o verdadeiro valor de \mu em 95\% das repetições.
  • Não se deve dizer literalmente que “há 95\% de probabilidade de que \mu esteja no intervalo” para o intervalo já construído (essa interpretação é bayesiana). A forma correta (frequentista) é a frase anterior sobre o método que gera intervalos com cobertura de 95\%.
  • Resumindo de modo prático e aceito em provas: pode-se escrever "Estou 95\% confiante de que \mu está entre 102{,}84 e 117{,}16". Isso é entendido como a interpretação usual em estatística aplicada.
  • Dica rápida para a prova: identificar logo se \sigma é conhecida; se não for e n é pequeno, use t com n-1 graus de liberdade; calcule \text{SE}=s/\sqrt{n}; busque t_{\alpha/2,n-1} na tabela; calcule \bar{x}\pm t\cdot\text{SE}.

Resposta

90\%:\;[104{,}2\;-\;115{,}8]
95\%:\;[102{,}84\;-\;117{,}16]

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