Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.4 Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma média de 5, 2 mm . Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional 1,2 \mathrm{~mm}, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. Respectivos resultado:[4,81-5,59], [4,73-5,67] e [4,58-5,82].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar{x}=5,2\\ \text{mm}.
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=1,2\\ \text{mm}.
    O enunciado pede construir intervalos de confiança para a média \mu nos níveis de confiança: 90\%, 95\% e 99\%.

Passo 2

Fórmula a usar (quando \sigma é conhecida e a amostra vem de população normal):
\text{Intervalo de confiança:}\qquad \bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.ç
Explicando cada símbolo com calma:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=5,2).
  • \sigma é o desvio-padrão da população (aqui \sigma=1,2).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25).
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro-padrão da média (a medida da variabilidade da média amostral).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita dele é \alpha/2, sendo \alpha=1- nível de confiança. Por exemplo, para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025; o z_{0,025}=1,96.

Passo 3

Calcular o erro-padrão \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\sqrt{n}=\sqrt{25}=5, \qquad \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{1,2}{5}=0,24\\ \text{mm}.
Ou seja, a média amostral tem variabilidade típica 0,24\\ \text{mm}.

Passo 4

Determinar os valores críticos z_{\alpha/2} para cada nível de confiança.
  • Para 90\%: \alpha=0,10, então \alpha/2=0,05. Temos z_{0,05}=1,645.
  • Para 95\%: \alpha=0,05, então \alpha/2=0,025. Temos z_{0,025}=1,96.
  • Para 99\%: \alpha=0,01, então \alpha/2=0,005. Temos z_{0,005}\approx2,5758.
    Comentário rápido: esses números vêm da tabela da normal padrão (ou função quantil em calculadora). Eles indicam quantos desvios-padrão a média amostral precisa para cobrir a parte central desejada da distribuição.

Passo 5

Calcular a margem de erro E=z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} para cada nível.
  • Para 90\%:
E_{90}=1,645\times 0,24=0,3948\\ \text{mm}\approx0,39\\ \text{mm}.
  • Para 95\%:
E_{95}=1,96\times 0,24=0,4704\\ \text{mm}\approx0,47\\ \text{mm}.
  • Para 99\%:
E_{99}=2,5758\times 0,24=0,618192\\ \text{mm}\approx0,62\\ \text{mm}.

Passo 6

Construir os intervalos \bar{x}\pm E e arredondar para duas casas decimais (vírgula como separador):
  • 90\%:
\text{limite inferior}=5,2-0,3948=4,8052\approx4,81, \qquad \text{limite superior}=5,2+0,3948=5,5948\approx5,59.
Intervalo: [4,81\;-\;5,59].
  • 95\%:
\text{limite inferior}=5,2-0,4704=4,7296\approx4,73, \qquad \text{limite superior}=5,2+0,4704=5,6704\approx5,67.
Intervalo: [4,73\;-\;5,67].
  • 99\%:
\text{limite inferior}=5,2-0,618192=4,581808\approx4,58, \qquad \text{limite superior}=5,2+0,618192=5,818192\approx5,82.
Intervalo: [4,58\;-\;5,82].

Passo 7

Interpretação didática (sem rodeios, do jeitinho que aparece na prova):
  • Dizer “a probabilidade de que \mu esteja nesse intervalo é 95\%” não é a forma correta tecnicamente. O que se diz corretamente é: se repetíssemos o procedimento de amostrar n=25 peças muitas vezes e construíssemos um intervalo de confiança 95\% para cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu.
  • Em linguagem prática e útil para a prova: com 95\% de confiança podemos afirmar que a média real de comprimento das peças está entre 4,73\\ \text{mm} e 5,67\\ \text{mm}.
  • Note a relação entre nivel de confiança e largura: quanto maior a confiança (de 90\% para 99\%), maior o z_{\alpha/2} e maior a margem de erro, logo o intervalo fica mais largo. Se quiser intervalos mais estreitos mantendo confiança, a solução é aumentar n.
  • Requisitos: aqui usamos que as medidas são normalmente distribuídas e que \sigma é conhecido (essas hipóteses justificam o uso da normal padrão z).

Resposta

90\%: [4,81\;-\;5,59]
95\%: [4,73\;-\;5,67]
99\%: [4,58\;-\;5,82]

Exercícios relacionados