Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.4 Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma média de 5, 2 mm . Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional
, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. Respectivos resultado:[4,81-5,59], [4,73-5,67] e [4,58-5,82].
1.4 Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma média de 5, 2 mm . Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão populacional conhecido:
.
O enunciado pede construir intervalos de confiança para a médianos níveis de confiança: , e .
Passo 2
Fórmula a usar (quando
é conhecida e a amostra vem de população normal):
Explicando cada símbolo com calma:
-
é a média da amostra (aqui ). -
é o desvio-padrão da população (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro-padrão da média (a medida da variabilidade da média amostral). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita dele é , sendo nível de confiança. Por exemplo, para de confiança, e ; o .
Passo 3
Calcular o erro-padrão
.
Ou seja, a média amostral tem variabilidade típica
.
Passo 4
Determinar os valores críticos
para cada nível de confiança.
- Para
: , então . Temos . - Para
: , então . Temos . - Para
: , então . Temos .
Comentário rápido: esses números vêm da tabela da normal padrão (ou função quantil em calculadora). Eles indicam quantos desvios-padrão a média amostral precisa para cobrir a parte central desejada da distribuição.
Passo 5
Calcular a margem de erro
para cada nível.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Construir os intervalos
e arredondar para duas casas decimais (vírgula como separador):
-
:
Intervalo:
.
-
:
Intervalo:
.
-
:
Intervalo:
.
Passo 7
Interpretação didática (sem rodeios, do jeitinho que aparece na prova):
- Dizer “a probabilidade de que
esteja nesse intervalo é ” não é a forma correta tecnicamente. O que se diz corretamente é: se repetíssemos o procedimento de amostrar peças muitas vezes e construíssemos um intervalo de confiança para cada amostra, cerca de desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional . - Em linguagem prática e útil para a prova: com
de confiança podemos afirmar que a média real de comprimento das peças está entre e . - Note a relação entre nivel de confiança e largura: quanto maior a confiança (de
para ), maior o e maior a margem de erro, logo o intervalo fica mais largo. Se quiser intervalos mais estreitos mantendo confiança, a solução é aumentar . - Requisitos: aqui usamos que as medidas são normalmente distribuídas e que
é conhecido (essas hipóteses justificam o uso da normal padrão ).