Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.3 Em 50 lances de moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta? R: [0,46-0,74]
1.3 Em 50 lances de moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta? R: [0,46-0,74]
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
- Número de experimentos (lances):
. - Número de caras observadas:
. - Nível de confiança pedido:
.
O que se pede: - Construir um intervalo de confiança de
para a probabilidade de obter cara numa única jogada. - A partir desse intervalo, dizer se podemos concluir que a moeda é honesta (ou seja, se
é compatível com os dados).
Passo 2
Explicação da ideia do intervalo de confiança (jeito amigável): um intervalo de confiança ao nível de
é um intervalo construído a partir da amostra de modo que, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo a cada vez, aproximadamente
desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de
. Aqui vamos usar a aproximação normal (fácil de aplicar na prova) para a proporção amostral.
Fórmula do intervalo (modelo que usaremos):
onde:
-
é a proporção observada na amostra; -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade (para confiança ); - a quantidade
é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
:
Passo 4
Verificar que a aproximação normal é admissível (regra prática): costuma-se pedir que
e
.
Calcular:
Calcular:
Portanto a aproximação normal é razoável aqui.
Passo 5
Calcular o erro padrão da proporção:
Agora a raiz:
Passo 6
Determinar
. Para nível de confiança
temos
, logo
e
. Precisamos de
tal que
onde
é normal padrão. O valor tabelado é
Calcular a margem de erro:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro:
Arredondando para duas casas decimais (forma usual em provas):
Passo 8
Interpretação final e resposta à pergunta sobre honestidade da moeda:
- Significado: com
de confiança, o verdadeiro parâmetro está entre e . Não é correto dizer que existe probabilidade de que esteja no intervalo numa única amostra; o sentido é sobre o procedimento repetido (ver Passo 2). - Sobre honestidade (
): o valor está dentro do intervalo . Portanto, com base nesta amostra e neste nível de confiança, não há evidência suficiente para afirmar que a moeda é desonesta. Em termos de teste de hipóteses bilateral ao nível , não se rejeita .