Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.3 Em 50 lances de moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confiança de 96%, pode-se dizer que a moeda é honesta? R: [0,46-0,74]

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
  • Número de experimentos (lances): n=50.
  • Número de caras observadas: X=30.
  • Nível de confiança pedido: 96\%.
    O que se pede:
  • Construir um intervalo de confiança de 96\% para a probabilidade p de obter cara numa única jogada.
  • A partir desse intervalo, dizer se podemos concluir que a moeda é honesta (ou seja, se p=0,5 é compatível com os dados).

Passo 2

Explicação da ideia do intervalo de confiança (jeito amigável): um intervalo de confiança ao nível de 96\% é um intervalo construído a partir da amostra de modo que, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo a cada vez, aproximadamente 96\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor de p. Aqui vamos usar a aproximação normal (fácil de aplicar na prova) para a proporção amostral.
Fórmula do intervalo (modelo que usaremos):
\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
onde:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra;
  • n é o tamanho da amostra;
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2 (para confiança 1-\alpha);
  • a quantidade \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\dfrac{X}{n}=\dfrac{30}{50}=0,6.

Passo 4

Verificar que a aproximação normal é admissível (regra prática): costuma-se pedir que n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5.
Calcular:
n\hat{p}=50\cdot 0,6=30\ge 5,\qquad n(1-\hat{p})=50\cdot 0,4=20\ge 5.
Portanto a aproximação normal é razoável aqui.

Passo 5

Calcular o erro padrão da proporção:
\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,6\cdot 0,4}{50}}=\sqrt{\dfrac{0,24}{50}}=\sqrt{0,0048}.
Agora a raiz:
\sqrt{0,0048}\approx 0,069282\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Determinar z_{1-\alpha/2}. Para nível de confiança 96\% temos 1-\alpha=0,96, logo \alpha=0,04 e \alpha/2=0,02. Precisamos de z tal que
P(Z\le z)=1-\alpha/2=0,98,
onde Z é normal padrão. O valor tabelado é
z_{0,98}\approx 2,0537.
Calcular a margem de erro:
\text{ME}=z_{0,98}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx 2,0537\cdot 0,069282\approx 0,1422.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro:
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{ME}=0,6-0,1422\approx 0,4578,
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{ME}=0,6+0,1422\approx 0,7422.
Arredondando para duas casas decimais (forma usual em provas):
\text{IC de }96\%\\ \text{para }p \approx [0,46;\,0,74].

Passo 8

Interpretação final e resposta à pergunta sobre honestidade da moeda:
  • Significado: com 96\% de confiança, o verdadeiro parâmetro p está entre 0,46 e 0,74. Não é correto dizer que existe probabilidade 96\% de que p esteja no intervalo numa única amostra; o sentido é sobre o procedimento repetido (ver Passo 2).
  • Sobre honestidade ( p=0,5): o valor 0,5 está dentro do intervalo [0,46;0,74]. Portanto, com base nesta amostra e neste nível de confiança, não há evidência suficiente para afirmar que a moeda é desonesta. Em termos de teste de hipóteses bilateral ao nível \alpha=0,04, não se rejeita H_0:p=0,5.

Resposta

\text{Intervalo de confiança de }96\%: [0,46;\,0,74]ç
\text{Conclusão: Não há evidência suficiente para afirmar que a moeda é desonesta (}p=0,5\text{ está no intervalo).}ããáêéá

Exercícios relacionados