Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.2 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel? \alpha=2 \% . R : [0,20-0,30]

Passo 1

O enunciado pede para construir o intervalo de confiança para a proporção de domicílios que são casas de aluguel e interpretar o resultado. Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=400.
  • Proporção amostral de casas de aluguel: \hat p=0{,}25 (ou seja, 25\%).
  • Nível de significância: \alpha=0{,}02 (logo o nível de confiança é 1-\alpha=0{,}98, ou 98\%).
O que é pedido: calcular o intervalo de confiança para a proporção populacional p com confiança de 98\% e dizer o que esse intervalo significa.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê.
Para proporções, quando a amostra é grande, a distribuição amostral de \hat p é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central aplicado a proporções). O intervalo de confiança simétrico de nível 1-\alpha para p é dado por
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \hat p é a proporção observada na amostra (a estimativa pontual).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão cuja área à esquerda é 1-\alpha/2. Por exemplo, para \alpha=0{,}02 usamos z_{0{,}99}.
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão da proporção — a estimativa da variabilidade de \hat p entre amostras.
Antes de usar a fórmula, verificar condições de aplicabilidade: normalmente exige-se n\hat p\ge5 e n(1-\hat p)\ge5. Aqui:
n\hat p = 400\cdot0{,}25=100\ge5,\qquad n(1-\hat p)=400\cdot0{,}75=300\ge5,
portanto a aproximação normal é válida.

Passo 3

Encontrar o valor crítico z_{1-\alpha/2}.
Temos \alpha=0{,}02, então \alpha/2=0{,}01 e 1-\alpha/2=0{,}99. O valor crítico é
z_{0{,}99}\approx 2{,}3263.
Comentário prático: esse valor vem da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística — é o número tal que 99\% da área está à esquerda dele.

Passo 4

Calcular o erro padrão passo a passo.
Primeiro calcule \hat p(1-\hat p):
\hat p(1-\hat p)=0{,}25\cdot0{,}75=0{,}1875.
Dividindo por n:
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{0{,}1875}{400}=0{,}00046875.
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}=\sqrt{0{,}00046875}\approx 0{,}021649\\ (\text{aprox. }0{,}02165).
Interpretação: esse número é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral de \hat p; indica quanto \hat p tende a oscilar entre amostras.

Passo 5

Calcular a margem de erro multiplicando z pelo erro padrão.
\text{margem} = z_{0{,}99}\cdot\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\approx 2{,}3263\cdot0{,}021649\approx 0{,}05036.
Arredondando, \text{margem}\approx 0{,}0504. Isso significa que o intervalo se estende cerca de 5{,}04\% para cima e para baixo a partir de \hat p.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo de confiança.
Limite inferior:
\hat p - \text{margem}=0{,}25-0{,}05036\approx 0{,}19964\approx 0{,}20.
Limite superior:
\hat p + \text{margem}=0{,}25+0{,}05036\approx 0{,}30036\approx 0{,}30.
Portanto, o intervalo de confiança de 98\% para a proporção p é aproximadamente [0{,}20,\;0{,}30].

Passo 7

Interpretação do resultado (jeito prático e formal).
  • Interpretação prática: com nível de confiança de 98\%, pode-se afirmar que a proporção verdadeira de domicílios que são casas de aluguel está entre 20\% e 30\%, segundo a informação da amostra.
  • Interpretação formal: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e, para cada amostra de tamanho 400, construíssemos o intervalo de confiança da mesma forma, cerca de 98\% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor da proporção populacional p.
  • Observação: o intervalo é relativamente estreito porque n é grande; aumentar n reduziria a margem de erro.

Resposta

[0{,}20,\\\ 0{,}30]

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