Construa os intervalos de confiança e interprete os resultados.
1.2 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel?
: [0,20-0,30]
1.2 Uma amostra aleatória de 400 domicílios mostra-nos que 25% deles são casas de aluguel. Qual é o intervalo de confiança da proporção de casas de aluguel?
Passo 1
O enunciado pede para construir o intervalo de confiança para a proporção de domicílios que são casas de aluguel e interpretar o resultado. Dados fornecidos:
- Tamanho da amostra:
. - Proporção amostral de casas de aluguel:
(ou seja, ). - Nível de significância:
(logo o nível de confiança é , ou ).
O que é pedido: calcular o intervalo de confiança para a proporção populacional
com confiança de
e dizer o que esse intervalo significa.
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê.
Para proporções, quando a amostra é grande, a distribuição amostral de
é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central aplicado a proporções). O intervalo de confiança simétrico de nível
para
é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é a proporção observada na amostra (a estimativa pontual). -
é o quantil da distribuição normal padrão cuja área à esquerda é . Por exemplo, para usamos . -
é o erro padrão da proporção — a estimativa da variabilidade de entre amostras.
Antes de usar a fórmula, verificar condições de aplicabilidade: normalmente exige-se
e
. Aqui:
portanto a aproximação normal é válida.
Passo 3
Encontrar o valor crítico
.
Temos
, então
e
. O valor crítico é
Comentário prático: esse valor vem da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística — é o número tal que
da área está à esquerda dele.
Passo 4
Calcular o erro padrão passo a passo.
Primeiro calcule
:
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
Interpretação: esse número é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral de
; indica quanto
tende a oscilar entre amostras.
Passo 5
Calcular a margem de erro multiplicando
pelo erro padrão.
Arredondando,
. Isso significa que o intervalo se estende cerca de
para cima e para baixo a partir de
.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo de confiança.
Limite inferior:
Limite superior:
Portanto, o intervalo de confiança de
para a proporção
é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação do resultado (jeito prático e formal).
- Interpretação prática: com nível de confiança de
, pode-se afirmar que a proporção verdadeira de domicílios que são casas de aluguel está entre e , segundo a informação da amostra. - Interpretação formal: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e, para cada amostra de tamanho
, construíssemos o intervalo de confiança da mesma forma, cerca de desses intervalos conteriam o verdadeiro valor da proporção populacional . - Observação: o intervalo é relativamente estreito porque
é grande; aumentar reduziria a margem de erro.