Construa (justificando) exemplos de polinômios irredutíveis:
em \mathbb{Q}[x] de grau 3 que sejam redutíveis em \mathbb{R}[x].

Passo 1

O enunciado pede que eu construa (com justificativa) exemplos de polinômios em \mathbb{Q}[x] de grau 3 que sejam irredutíveis em \mathbb{Q}[x] mas que se tornem redutíveis em \mathbb{R}[x].\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Queremos polinômios com coeficientes racionais (isto é, em \mathbb{Q}).\n
  • O grau deve ser 3.\n
  • O polinômio deve ser irredutível quando considerado em \mathbb{Q}[x] (não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais).\n
  • O mesmo polinômio deve ser redutível quando considerado em \mathbb{R}[x] (ou seja, admite uma fatoração não trivial com coeficientes reais).\n

Passo 2

Entender o que significa cada termo (aqui eu vou te ensinar o conceito passo a passo, sem pular etapas).\n
  • Um polinômio f(x)\in\mathbb{Q}[x] é irreduzível em \mathbb{Q}[x] se não existir fatoração f(x)=g(x)h(x) com g,h\in\mathbb{Q}[x] de grau positivo menor que o de f.\n
  • Para um polinômio de grau 3, as únicas possibilidades de fatoração não trivial em \mathbb{Q}[x] são (graus) 1+2 ou 1+1+1. Em particular, se ele for redutível em \mathbb{Q}[x] então existe um fator linear com coeficientes racionais, isto é, existe uma raiz racional.\n
  • Portanto, para um cúbico, ser irreduzível em \mathbb{Q}[x] é equivalente a não ter nenhuma raiz racional. Esse fato é muito útil porque reduz o problema a checar raízes racionais (Teorema das raízes racionais) ou usar um critério como o de Eisenstein.\n
  • Por outro lado, considerando o mesmo polinômio em \mathbb{R}[x]: todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real (isso vem do Teorema do Valor Intermediário aplicando que a função x\mapsto f(x) é contínua e tende a -\infty em um extremo e +\infty no outro). Assim, qualquer cúbico real sempre tem uma raiz real e, portanto, em \mathbb{R}[x] pode ser escrito como um produto (x-a)q(x) com a\in\mathbb{R} e q(x)\in\mathbb{R}[x] de grau 2. Logo, muitos cúbicos que são irreduzíveis sobre \mathbb{Q} serão redutíveis sobre \mathbb{R} — justamente quando a raiz real não for racional.\n

Passo 3

Ferramentas práticas que uso para construir exemplos:\n
  • Teorema das raízes racionais: se \frac{p}{q} (em forma reduzida) é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Para polinômios monicos (coeficiente líder 1) os candidatos a raízes racionais são divisores do termo constante.\n
  • Critério de Eisenstein (muito prático para mostrar irreducibilidade): se existe primo \,p tal que p divide todos os coeficientes exceto o líder, p^2 não divide o termo constante, e o líder não é divisível por p, então o polinômio é irreducível em \mathbb{Q}[x].\n
    Vou usar essas ideias para dar exemplos simples e claros.\n

Passo 4

Escolha do primeiro exemplo: \,f(x)=x^3-2.\n
Justificativa de irreducibilidade em \mathbb{Q}[x]: aplicar Eisenstein com \,p=2.\n
  • Coeficientes de f são 1,0,0,-2. O coeficiente líder 1 não é divisível por 2.\n- O primo 2 divide 0 e -2, ou seja, divide todos os coeficientes exceto o líder.\n- Além disso, 2^2=4 não divide o termo constante -2.\nPelas condições do critério de Eisenstein com p=2, concluímos que x^3-2 é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n

Passo 5

Mostrar que x^3-2 é redutível em \mathbb{R}[x].\n
  • Como expliquei antes, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. Mais concretamente, note que f(1)=1-2=-1<0 e f(2)=8-2=6>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe \alpha\in(1,2) tal que f(\alpha)=0. Esse \alpha é precisamente \alpha=\sqrt[3]{2}.\n- Assim \alpha\in\mathbb{R} é raiz real (mas não racional), então x-\alpha é um fator em \mathbb{R}[x]. Usando a identidade bem conhecida de diferença de cubos temos a fatoração algébrica válida para qualquer a:\n x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2).\nTomando a=\sqrt[3]{2} obtemos\n x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})\bigl(x^2+\sqrt[3]{2}\,x+\sqrt[3]{4}\bigr).\nOs coeficientes da segunda fatoração são reais (pois \sqrt[3]{2} e \sqrt[3]{4} são reais), logo é uma fatoração em \mathbb{R}[x]. Portanto x^3-2 é redutível em \mathbb{R}[x].\n

Passo 6

Comentário didático sobre o que vimos com x^3-2 (para que você entenda na prova):\n
  • Em \mathbb{Q}[x] verificamos irreducibilidade de forma direta com Eisenstein — um critério rápido e rígido.\n- Em \mathbb{R}[x] usamos que grau ímpar garante raiz real; além disso aqui a raiz é irracional (por isso não aparece em \mathbb{Q}[x]), mas ainda assim é real, o que garante a fatoração linear em \mathbb{R}[x].\n- Uma maneira curta de checar irreducibilidade de cúbicos monicos é: se não têm raízes racionais (cheque candidatos pelo teorema das raízes racionais) então são irreduzíveis. Eisenstein é ainda mais direto quando aplicável.\n

Passo 7

Um segundo exemplo, construído da mesma forma: \,g(x)=x^3-3.\n
  • Aplicando Eisenstein com \,p=3: os coeficientes são 1,0,0,-3. O primo 3 divide 0 e -3, 3^2=9 não divide -3, e o líder 1 não é divisível por 3. Logo x^3-3 é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n- Em \mathbb{R}[x] tem raiz real \sqrt[3]{3}, e pela mesma identidade de diferença de cubos\n x^3-3=(x-\sqrt[3]{3})\bigl(x^2+\sqrt[3]{3}\,x+\sqrt[3]{9}\bigr),
que é uma fatoração não-trivial em \mathbb{R}[x]. Portanto x^3-3 é redutível em \mathbb{R}[x].\n

Passo 8

Observações finais e como aplicar isso rápido na prova:\n
  • Para obter exemplos simples, escolha x^3-a com a\in\mathbb{Z} que seja não quadrado e não cubo racional trivial; se a é primo p então Eisenstein com p muitas vezes garante irreducibilidade.\n- Em qualquer prova: use Eisenstein quando possível (rápido e convincente). Caso não seja aplicável, cheque candidatos racionais pelo Teorema das raízes racionais; se nenhum funciona, o cúbico é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n- Lembre que o fato de um polinômio ser irreduzível em \mathbb{Q}[x] não impede que ele seja redutível em corpos maiores como \mathbb{R} ou \mathbb{C}; para cúbicos o passo crítico é simplesmente que \mathbb{R} contém raízes reais irracionais.\n

Resposta

x^3-2 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] (pelo critério de Eisenstein com p=2) e redutível em \mathbb{R}[x] com fatoração x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2}\,x+\sqrt[3]{4}).\n
x^3-3 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] (pelo critério de Eisenstein com p=3) e redutível em \mathbb{R}[x] com fatoração x^3-3=(x-\sqrt[3]{3})(x^2+\sqrt[3]{3}\,x+\sqrt[3]{9}).

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