Construa (justificando) exemplos de polinômios irredutíveis:
em
de grau 3 que sejam redutíveis em
.
em
Passo 1
O enunciado pede que eu construa (com justificativa) exemplos de polinômios em
de grau
que sejam irredutíveis em
mas que se tornem redutíveis em
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Queremos polinômios com coeficientes racionais (isto é, em
).\n - O grau deve ser
.\n - O polinômio deve ser irredutível quando considerado em
(não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais).\n - O mesmo polinômio deve ser redutível quando considerado em
(ou seja, admite uma fatoração não trivial com coeficientes reais).\n
Passo 2
Entender o que significa cada termo (aqui eu vou te ensinar o conceito passo a passo, sem pular etapas).\n
- Um polinômio
é irreduzível em se não existir fatoração com de grau positivo menor que o de .\n - Para um polinômio de grau
, as únicas possibilidades de fatoração não trivial em são (graus) ou . Em particular, se ele for redutível em então existe um fator linear com coeficientes racionais, isto é, existe uma raiz racional.\n - Portanto, para um cúbico, ser irreduzível em
é equivalente a não ter nenhuma raiz racional. Esse fato é muito útil porque reduz o problema a checar raízes racionais (Teorema das raízes racionais) ou usar um critério como o de Eisenstein.\n - Por outro lado, considerando o mesmo polinômio em
: todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real (isso vem do Teorema do Valor Intermediário aplicando que a função é contínua e tende a em um extremo e no outro). Assim, qualquer cúbico real sempre tem uma raiz real e, portanto, em pode ser escrito como um produto com e de grau . Logo, muitos cúbicos que são irreduzíveis sobre serão redutíveis sobre — justamente quando a raiz real não for racional.\n
Passo 3
Ferramentas práticas que uso para construir exemplos:\n
- Teorema das raízes racionais: se
(em forma reduzida) é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, então divide o termo constante e divide o coeficiente líder. Para polinômios monicos (coeficiente líder ) os candidatos a raízes racionais são divisores do termo constante.\n - Critério de Eisenstein (muito prático para mostrar irreducibilidade): se existe primo
tal que divide todos os coeficientes exceto o líder, não divide o termo constante, e o líder não é divisível por , então o polinômio é irreducível em .\n
Vou usar essas ideias para dar exemplos simples e claros.\n
Passo 4
Escolha do primeiro exemplo:
.\n
Justificativa de irreducibilidade em : aplicar Eisenstein com
.\n
Justificativa de irreducibilidade em
- Coeficientes de
são . O coeficiente líder não é divisível por .\n- O primo divide e , ou seja, divide todos os coeficientes exceto o líder.\n- Além disso, não divide o termo constante .\nPelas condições do critério de Eisenstein com , concluímos que é irreduzível em .\n
Passo 5
Mostrar que
é redutível em
.\n
- Como expliquei antes, todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. Mais concretamente, note que
e . Pelo Teorema do Valor Intermediário existe tal que . Esse é precisamente .\n- Assim é raiz real (mas não racional), então é um fator em . Usando a identidade bem conhecida de diferença de cubos temos a fatoração algébrica válida para qualquer :\n \nTomando obtemos\n \nOs coeficientes da segunda fatoração são reais (pois e são reais), logo é uma fatoração em . Portanto é redutível em .\n
Passo 6
Comentário didático sobre o que vimos com
(para que você entenda na prova):\n
- Em
verificamos irreducibilidade de forma direta com Eisenstein — um critério rápido e rígido.\n- Em usamos que grau ímpar garante raiz real; além disso aqui a raiz é irracional (por isso não aparece em ), mas ainda assim é real, o que garante a fatoração linear em .\n- Uma maneira curta de checar irreducibilidade de cúbicos monicos é: se não têm raízes racionais (cheque candidatos pelo teorema das raízes racionais) então são irreduzíveis. Eisenstein é ainda mais direto quando aplicável.\n
Passo 7
Um segundo exemplo, construído da mesma forma:
.\n
- Aplicando Eisenstein com
: os coeficientes são . O primo divide e , não divide , e o líder não é divisível por . Logo é irreduzível em .\n- Em tem raiz real , e pela mesma identidade de diferença de cubos\n
que é uma fatoração não-trivial em
. Portanto
é redutível em
.\n
Passo 8
Observações finais e como aplicar isso rápido na prova:\n
- Para obter exemplos simples, escolha
com que seja não quadrado e não cubo racional trivial; se é primo então Eisenstein com muitas vezes garante irreducibilidade.\n- Em qualquer prova: use Eisenstein quando possível (rápido e convincente). Caso não seja aplicável, cheque candidatos racionais pelo Teorema das raízes racionais; se nenhum funciona, o cúbico é irreduzível em .\n- Lembre que o fato de um polinômio ser irreduzível em não impede que ele seja redutível em corpos maiores como ou ; para cúbicos o passo crítico é simplesmente que contém raízes reais irracionais.\n