Determine a fatoração completa de
p=x^{7}+5 x^{6}+6 x^{5}-12 x^{4}-47 x^{3}-63 x^{2}-40 x-10
em \mathbb{Z}[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x].

Passo 1

O enunciado pede a fatoração completa do polinômio
p=x^{7}+5 x^{6}+6 x^{5}-12 x^{4}-47 x^{3}-63 x^{2}-40 x-10
nos anéis \mathbb{Z}[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x]. As informações que temos são apenas os coeficientes do polinômio p. A tarefa é decompor p em fatores irreduzíveis em cada um desses anéis e, quando possível, escrever como produto de fatores lineares (no caso de \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x] até fatores lineares).

Passo 2

Primeiro vamos procurar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que quaisquer raízes racionais da forma \tfrac{a}{b} devem satisfazer que a divide o termo constante e b divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é -10 e o coeficiente líder é 1. Portanto as possíveis raízes racionais (inteiras, neste caso) são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 5,\\ \pm 10.
Vamos testar esses valores em p.

Passo 3

Avaliação direta: calculemos p(-1). É importante fazer conta passo a passo:
p(-1)=(-1)^7+5(-1)^6+6(-1)^5-12(-1)^4-47(-1)^3-63(-1)^2-40(-1)-10.
Agora os sinais e valores:
(-1)^7=-1,\quad 5(-1)^6=5,\quad 6(-1)^5=-6,\quad -12(-1)^4=-12,
-47(-1)^3=+47,\quad -63(-1)^2=-63,\quad -40(-1)=+40,\quad -10=-10.
Somando:
-1+5-6-12+47-63+40-10=0.
Portanto \,p(-1)=0 e \,x+1 é um fator de p.

Passo 4

Vamos dividir p por x+1 para obter o quociente. A divisão sintética com a raiz -1 é prática e rápida. Colocamos os coeficientes de p:
1,\\\ 5,\\\ 6,\\\ -12,\\\ -47,\\\ -63,\\\ -40,\\\ -10.
Operação sintética com -1:
\begin{array}{r|rrrrrrrr} -1 & 1 & 5 & 6 & -12 & -47 & -63 & -40 & -10\\\ & & -1 & -4 & -2 & 14 & 33 & 30 & 10\\hline & 1 & 4 & 2 & -14 & -33 & -30 & -10 & 0 \end{array}
Assim o quociente é
q(x)=x^{6}+4x^{5}+2x^{4}-14x^{3}-33x^{2}-30x-10.

Passo 5

Testamos novamente possíveis raízes racionais em q(x). Calculemos q(-1):
q(-1)=(-1)^6+4(-1)^5+2(-1)^4-14(-1)^3-33(-1)^2-30(-1)-10.
Fazendo as contas:
1-4+2+14-33+30-10=0.
Logo q(-1)=0 e x+1 é outro fator. Ou seja, x+1 é pelo menos de multiplicidade 2.

Passo 6

Dividimos q(x) por x+1 novamente usando sintética com -1. Coeficientes de q:
1,\\\ 4,\\\ 2,\\\ -14,\\\ -33,\\\ -30,\\\ -10.
Síntese:
\begin{array}{r|rrrrrrr} -1 & 1 & 4 & 2 & -14 & -33 & -30 & -10\\\ & & -1 & -3 & 1 & 13 & 20 & 10\\hline & 1 & 3 & -1 & -13 & -20 & -10 & 0 \end{array}
O novo quociente é
r(x)=x^{5}+3x^{4}-x^{3}-13x^{2}-20x-10.

Passo 7

Testamos r(-1):
r(-1)=(-1)^5+3(-1)^4-(-1)^3-13(-1)^2-20(-1)-10.
Calculando:
-1+3+1-13+20-10=0.
Portanto x+1 é mais uma vez fator; já temos multiplicidade pelo menos 3 para x+1.

Passo 8

Dividimos r(x) por x+1 com sintética ( -1). Coeficientes:
1,\\\ 3,\\\ -1,\\\ -13,\\\ -20,\\\ -10.
Síntese:
\begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 1 & 3 & -1 & -13 & -20 & -10\\\ & & -1 & -2 & 3 & 10 & 10\\hline & 1 & 2 & -3 & -10 & -10 & 0 \end{array}
O quociente resultante é
s(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-10x-10.
Até agora temos
p(x)=(x+1)^3\cdot s(x).

Passo 9

Agora fatoramos s(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-10x-10\). Tentaremos uma fatoração em dois quadráticos com coeficientes inteiros: \[s(x)=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).
Expandindo e igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} a+c=2,\\[4pt] ac+b+d=-3,\\[4pt] ad+bc=-10,\\[4pt] bd=-10. \end{cases}
Agora procuramos inteiros a,b,c,d\] que satisfaçam essas igualdades. Como \(bd=-10, os pares possíveis para (b,d) são (1,-10),(-1,10),(2,-5),(-2,5),(5,-2),(-5,2),(10,-1),(-10,1).]

Passo 10

Testamos candidatos. Uma escolha que funciona é b=2 e d=-5 porque então bd=-10 e
ac+b+d=ac+2-5=ac-3.
Queremos ac-3=-3, logo ac=0. Com a+c=2 e ac=0 as soluções inteiras são (a,c)=(2,0) ou (0,2). Testando (a,c)=(2,0) no terceiro balanço:
ad+bc=2\cdot(-5)+2\cdot 0=-10,
que é exatamente o coeficiente que precisamos. Portanto a fatoração é coerente. Assim encontramos
s(x)=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-5).

Passo 11

Juntando tudo:
p(x)=(x+1)^3(x^{2}+2x+2)(x^{2}-5).

Passo 12

Agora analisamos a irreducibilidade dos fatores em cada anel.
  • Em \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x]: os fatores (x+1) são lineares em \mathbb{Z}[x]. O polinômio x^{2}-5 não tem raízes racionais (as possíveis raízes \pm 1,\pm 5 não anulam x^{2}-5), e seu discriminante é
\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot (-5)=20,
que não é quadrado perfeito em \mathbb{Q}, logo x^{2}-5 é irredutível sobre \mathbb{Q} (assim também sobre \mathbb{Z}). O polinômio x^{2}+2x+2 tem discriminante
\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0,
logo não tem raízes reais e, em particular, não tem raízes racionais; assim é irredutível em \mathbb{Q}[x] e em \mathbb{Z}[x]. Portanto a fatoração em \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x] é exatamente
p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x^2-5),
com todos fatores sendo irreduzíveis em \mathbb{Q}[x] (exceto os lineares óbvios).

Passo 13

Em \mathbb{R}[x]: podemos fatorar x^{2}-5 em fatores lineares reais usando as raízes reais \pm\sqrt{5}. O quadrático x^{2}+2x+2 permanece irreduzível sobre \mathbb{R} porque tem discriminante negativo. Assim em \mathbb{R}[x] obtém-se
p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).

Passo 14

Em \mathbb{C}[x]: todo polinômio se decompõe em fatores lineares. Encontramos as raízes complexas dos quadráticos:
  • Para x^{2}-5: raízes \pm\sqrt{5}, já reais.
  • Para x^{2}+2x+2: aplicando a fórmula quadrática
x=\frac{-2\pm\sqrt{-4}}{2}=-1\pm i.
Logo x^{2}+2x+2=(x+1-i)(x+1+i).
Reunindo tudo em \mathbb{C}[x]:
p(x)=(x+1)^3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x+1-i)(x+1+i).

Resposta

\mathbb{Z}[x]:\\ p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x^2-5)
\mathbb{Q}[x]:\\ p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x^2-5)
\mathbb{R}[x]:\\ p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})
\mathbb{C}[x]:\\ p(x)=(x+1)^3(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})(x+1-i)(x+1+i)

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