nos anéis \mathbb{Z}[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x]. As informações que temos são apenas os coeficientes do polinômio p. A tarefa é decompor p em fatores irreduzíveis em cada um desses anéis e, quando possível, escrever como produto de fatores lineares (no caso de \mathbb{R}[x] e \mathbb{C}[x] até fatores lineares).
Passo 2
Primeiro vamos procurar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que quaisquer raízes racionais da forma \tfrac{a}{b} devem satisfazer que a divide o termo constante e b divide o coeficiente líder. Aqui o termo constante é -10 e o coeficiente líder é 1. Portanto as possíveis raízes racionais (inteiras, neste caso) são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 5,\\ \pm 10.
Vamos testar esses valores em p.
Passo 3
Avaliação direta: calculemos p(-1). É importante fazer conta passo a passo:
Agora fatoramos s(x)=x^{4}+2x^{3}-3x^{2}-10x-10\). Tentaremos uma fatoração em dois quadráticos com coeficientes inteiros:
\[s(x)=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d).
Expandindo e igualando coeficientes obtemos o sistema
Agora procuramos inteiros a,b,c,d\] que satisfaçam essas igualdades. Como \(bd=-10, os pares possíveis para (b,d) são (1,-10),(-1,10),(2,-5),(-2,5),(5,-2),(-5,2),(10,-1),(-10,1).]
Passo 10
Testamos candidatos. Uma escolha que funciona é b=2 e d=-5 porque então bd=-10 e
ac+b+d=ac+2-5=ac-3.
Queremos ac-3=-3, logo ac=0. Com a+c=2 e ac=0 as soluções inteiras são (a,c)=(2,0) ou (0,2). Testando (a,c)=(2,0) no terceiro balanço:
ad+bc=2\cdot(-5)+2\cdot 0=-10,
que é exatamente o coeficiente que precisamos. Portanto a fatoração é coerente. Assim encontramos
s(x)=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-5).
Passo 11
Juntando tudo:
p(x)=(x+1)^3(x^{2}+2x+2)(x^{2}-5).
Passo 12
Agora analisamos a irreducibilidade dos fatores em cada anel.
Em \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x]: os fatores (x+1) são lineares em \mathbb{Z}[x]. O polinômio x^{2}-5 não tem raízes racionais (as possíveis raízes \pm 1,\pm 5 não anulam x^{2}-5), e seu discriminante é
\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot (-5)=20,
que não é quadrado perfeito em \mathbb{Q}, logo x^{2}-5 é irredutível sobre \mathbb{Q} (assim também sobre \mathbb{Z}). O polinômio x^{2}+2x+2 tem discriminante
\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0,
logo não tem raízes reais e, em particular, não tem raízes racionais; assim é irredutível em \mathbb{Q}[x] e em \mathbb{Z}[x]. Portanto a fatoração em \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x] é exatamente
p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x^2-5),
com todos fatores sendo irreduzíveis em \mathbb{Q}[x] (exceto os lineares óbvios).
Passo 13
Em \mathbb{R}[x]: podemos fatorar x^{2}-5 em fatores lineares reais usando as raízes reais \pm\sqrt{5}. O quadrático x^{2}+2x+2 permanece irreduzível sobre \mathbb{R} porque tem discriminante negativo. Assim em \mathbb{R}[x] obtém-se
p(x)=(x+1)^3(x^2+2x+2)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5}).
Passo 14
Em \mathbb{C}[x]: todo polinômio se decompõe em fatores lineares. Encontramos as raízes complexas dos quadráticos: