Construa (justificando) exemplos de polinômios irredutíveis:
em
de grau 2 que sejam redutíveis em
.
em
Passo 1
O enunciado pede que eu construa exemplos de polinômios de grau
com coeficientes racionais (isto é, em
) que sejam irreduzíveis em
mas que se tornem redutíveis em
. Informações relevantes que o enunciado dá:
- o anel dos polinômios sobre os racionais
; - grau do polinômio:
; - queremos irreduzibilidade sobre
e redutibilidade sobre .
Passo 2
Vamos entender (devagar e com carinho) o que significam essas duas propriedades para um polinômio de grau
.
Definição e consequência prática para grau
: um polinômio de grau
é da forma
com
números (no nosso caso queremos
). Esse polinômio é redutível em
se ele pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau
com coeficientes racionais, isto é,
com
. Portanto, para grau
temos a equivalência prática: "irreducível em
" é o mesmo que “não ter raízes racionais”. Essa equivalência vem do fato simples: qualquer fatoração não-trivial de um quadrático sobre
precisa quebrá‑lo em dois fatores lineares com coeficientes em
, e isso significa precisamente que as raízes são racionais.
Uma ferramenta muito útil aqui é o Teorema da Raiz Racional (Rational Root Theorem): se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional
em forma reduzida, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Para polinômios com coeficientes racionais, podemos multiplicar por um inteiro para transformar em coeficientes inteiros e aplicar o mesmo raciocínio.
Passo 3
Agora, o que significa ser redutível em
para um quadrático? Para
com coeficientes reais, a existência de fatoração em fatores lineares com coeficientes reais é equivalente à existência de raízes reais. A condição clássica para isso é o discriminante:
- Se
, o polinômio tem duas raízes reais distintas e, portanto, se fatoriza em como . - Se
, tem uma raiz real dupla e também se fatoriza (como ). - Se
, não tem raízes reais e é irredutível em (mas se fatoriza em ).
Portanto, para que um quadrático seja irreduzível em
mas redutível em
precisamos de um polinômio com
(raízes reais) e cujas raízes NÃO sejam racionais. Em outras palavras: raízes reais irracionais.
Passo 4
Construção óbvia e clássica: escolher um quadrático com coeficientes inteiros cujo discriminante seja positivo, mas cuja raiz não seja racional. O exemplo mais simples é
Vamos verificar as duas propriedades passo a passo.
Verificando que é redutível em
: aqui
,
,
, então
portanto há duas raízes reais. De fato as raízes são
e a fatoração em
é
Verificando que é irreduzível em
: pelo Teorema da Raiz Racional, qualquer raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros teria que dividir
, então os candidatos racionais são
. Vamos testar:
Nenhum candidato dá zero, logo não há raiz racional. Como explicado antes, um quadrático sem raiz racional não admite fatoração em
. Portanto
é irreduzível em
e redutível em
.
Passo 5
Mais exemplos do mesmo tipo (para fixar a ideia e ter opções para a prova): os polinômios
e
também funcionam. Vou justificar cada um rapidamente.
Para
: temos
, raízes
(reais e irracionais), fatoração em
. Pelo Teorema da Raiz Racional os candidatos racionais são
e nenhum é raiz, então é irreduzível em
.
Para
: aqui
,
,
, então
As raízes são
, que são reais e irracionais. Os candidatos racionais (pelo Teorema da Raiz Racional) para raízes seriam
, mas
e
, então não há raiz racional: irreduzível em
. Em
fatoriza como
Passo 6
Resumo do método para construir tais exemplos (dica para a prova): escolha coeficientes racionais (inteiros, para facilitar) de modo que o discriminante seja positivo (raízes reais) e que as raízes não sejam racionais. Um modo prático: escolher quadráticos
com
positivo não quadrado (por exemplo
). Outra opção: quadráticos com termo
não nulo e discriminante positivo que não seja quadrado perfeito em
.