Construa (justificando) exemplos de polinômios irredutíveis:
em \mathbb{Q}[x] de grau 2 que sejam redutíveis em \mathbb{R}[x].

Passo 1

O enunciado pede que eu construa exemplos de polinômios de grau 2 com coeficientes racionais (isto é, em \mathbb{Q}[x]) que sejam irreduzíveis em \mathbb{Q}[x] mas que se tornem redutíveis em \mathbb{R}[x]. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • o anel dos polinômios sobre os racionais \mathbb{Q}[x];
  • grau do polinômio: 2;
  • queremos irreduzibilidade sobre \mathbb{Q} e redutibilidade sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos entender (devagar e com carinho) o que significam essas duas propriedades para um polinômio de grau 2.
Definição e consequência prática para grau 2: um polinômio de grau 2 é da forma
ax^2+bx+c,
com a,b,c números (no nosso caso queremos a,b,c\in\mathbb{Q}). Esse polinômio é redutível em \mathbb{Q}[x] se ele pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes racionais, isto é,
ax^2+bx+c = a\bigl(x-r_1\bigr)\bigl(x-r_2\bigr)
com r_1,r_2\in\mathbb{Q}. Portanto, para grau 2 temos a equivalência prática: "irreducível em \mathbb{Q}[x]" é o mesmo que “não ter raízes racionais”. Essa equivalência vem do fato simples: qualquer fatoração não-trivial de um quadrático sobre \mathbb{Q} precisa quebrá‑lo em dois fatores lineares com coeficientes em \mathbb{Q}, e isso significa precisamente que as raízes são racionais.
Uma ferramenta muito útil aqui é o Teorema da Raiz Racional (Rational Root Theorem): se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional p/q em forma reduzida, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Para polinômios com coeficientes racionais, podemos multiplicar por um inteiro para transformar em coeficientes inteiros e aplicar o mesmo raciocínio.

Passo 3

Agora, o que significa ser redutível em \mathbb{R}[x] para um quadrático? Para ax^2+bx+c com coeficientes reais, a existência de fatoração em fatores lineares com coeficientes reais é equivalente à existência de raízes reais. A condição clássica para isso é o discriminante:
\Delta = b^2-4ac.
  • Se \Delta>0, o polinômio tem duas raízes reais distintas e, portanto, se fatoriza em \mathbb{R}[x] como a(x-r_1)(x-r_2).
  • Se \Delta=0, tem uma raiz real dupla e também se fatoriza (como a(x-r)^2).
  • Se \Delta<0, não tem raízes reais e é irredutível em \mathbb{R}[x] (mas se fatoriza em \mathbb{C}[x]).
Portanto, para que um quadrático seja irreduzível em \mathbb{Q}[x] mas redutível em \mathbb{R}[x] precisamos de um polinômio com \Delta\ge 0 (raízes reais) e cujas raízes NÃO sejam racionais. Em outras palavras: raízes reais irracionais.

Passo 4

Construção óbvia e clássica: escolher um quadrático com coeficientes inteiros cujo discriminante seja positivo, mas cuja raiz não seja racional. O exemplo mais simples é
x^2-2.
Vamos verificar as duas propriedades passo a passo.
Verificando que é redutível em \mathbb{R}[x]: aqui a=1, b=0, c=-2, então
\Delta = 0^2 - 4\cdot 1\cdot(-2) = 8 > 0,
portanto há duas raízes reais. De fato as raízes são \pm \sqrt{2} e a fatoração em \mathbb{R}[x] é
x^2-2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).
Verificando que é irreduzível em \mathbb{Q}[x]: pelo Teorema da Raiz Racional, qualquer raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros teria que dividir 2, então os candidatos racionais são \pm 1,\pm 2. Vamos testar:
1^2-2 = -1 \neq 0,\qquad (-1)^2-2=-1\neq0,
2^2-2=2\neq0,\qquad (-2)^2-2=2\neq0.
Nenhum candidato dá zero, logo não há raiz racional. Como explicado antes, um quadrático sem raiz racional não admite fatoração em \mathbb{Q}[x]. Portanto \,x^2-2 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] e redutível em \mathbb{R}[x].

Passo 5

Mais exemplos do mesmo tipo (para fixar a ideia e ter opções para a prova): os polinômios
x^2-3
e
x^2-2x-1
também funcionam. Vou justificar cada um rapidamente.
Para \,x^2-3: temos \Delta = 0^2-4\cdot1\cdot(-3)=12>0, raízes \pm\sqrt{3} (reais e irracionais), fatoração em \mathbb{R}[x] (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}). Pelo Teorema da Raiz Racional os candidatos racionais são \pm1,\pm3 e nenhum é raiz, então é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Para \,x^2-2x-1: aqui a=1, b=-2, c=-1, então
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-1) = 4+4 = 8 > 0.
As raízes são 1\pm\sqrt{2}, que são reais e irracionais. Os candidatos racionais (pelo Teorema da Raiz Racional) para raízes seriam \pm1, mas 1^2-2\cdot1-1=-2\neq0 e (-1)^2-2(-1)-1=2\neq0, então não há raiz racional: irreduzível em \mathbb{Q}[x]. Em \mathbb{R}[x] fatoriza como
x^2-2x-1 = \bigl(x-(1+\sqrt{2})\bigr)\bigl(x-(1-\sqrt{2})\bigr).

Passo 6

Resumo do método para construir tais exemplos (dica para a prova): escolha coeficientes racionais (inteiros, para facilitar) de modo que o discriminante seja positivo (raízes reais) e que as raízes não sejam racionais. Um modo prático: escolher quadráticos x^2-d com d\in\mathbb{Z} positivo não quadrado (por exemplo d=2,3,5,\dots). Outra opção: quadráticos com termo x não nulo e discriminante positivo que não seja quadrado perfeito em \mathbb{Q}.

Resposta

x^2-2
x^2-3
x^2-2x-1

Exercícios relacionados