• Construa o mapa da sala, com os 5 objetos medidos.
  • Considere o encontro da parede que contém a porta com a parede que contém a lousa, no chão, como origem do espaço.
  • Para os objetos medidos, escolha um ponto de referência (vértice ou centro) e escreva o vetor posição desses pontos, utilizando a notação de versores unitários \hat{\imath}, \hat{\jmath} e \hat{k}.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa um mapa da sala com 5 objetos medidos e que, tomando como origem o encontro das duas paredes (a parede que contém a porta e a parede que contém a lousa, no chão), eu escreva para cada objeto o vetor posição do ponto de referência escolhido (vértice ou centro), usando os versores unitários \hat{\imath}, \hat{\jmath} e \hat{k}.
Informações dadas explicitamente pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{(i)}\\ \text{Origem: encontro das duas paredes no chão.}\\\ &\text{(ii)}\\ \text{Precisamos de 5 objetos, cada um com um ponto de referência (vértice ou centro).}\\\ &\text{(iii)}\\ \text{As posições devem ser escritas como vetores com } \hat{\imath},\\ \hat{\jmath},\\ \hat{k}. \end{aligned}ãêéçõ
Como o enunciado não fornece medidas numéricas, vou assumir dimensões e posições típicas e explicitar essas suposições para que você possa reproduzir o procedimento na prova ou adaptar para medidas reais. As coordenadas que vou dar estarão em metros.

Passo 2

Defino o sistema de coordenadas e unidades (importante: é uma escolha — qualquer outra consistente serviria):
\begin{aligned} &\text{Origem } O\\ \text{em }(0,0,0): \text{o encontro das paredes no chão.}\\\ &\hat{\imath}\\ \text{aponta ao longo da parede que contém a porta (positiva para a direita).}\\\ &\hat{\jmath}\\ \text{aponta ao longo da parede que contém a lousa (positiva para frente ou para cima da parede).}\\\ &\hat{k}\\ \text{aponta para cima (vertical).}\\\ &\text{Unidade: metros (m).} \end{aligned}ãéé
Interpretação geométrica: as paredes correspondem aos planos y=0 e x=0; o interior da sala está no quadrante x>0,\\ y>0.

Passo 3

Faço suposições razoáveis sobre dimensões da sala (apenas para termos números concretos):
\text{comprimento ao longo de }\hat{\imath}:\\\ 7\\ \text{m},\qquad \text{profundidade ao longo de }\hat{\jmath}:\\\ 5\\ \text{m}.
Vou escolher 5 objetos e um ponto de referência para cada um (vértice ou centro). Os objetos e os pontos de referência escolhidos:
\begin{aligned} &\text{(A) Lousa: centro da superfície da lousa (na parede, altura média).}\\\ &\text{(B) Maçaneta da porta: ponto da maçaneta (na parede da porta).}\\\ &\text{\text{(C)} Mesa do professor: centro do tampo.}\\\ &\text{(D) Carteira de estudante (frente): centro do tampo da carteira.}\\\ &\text{(E) Lixeira: centro (no chão) colocada num canto traseiro.} \end{aligned}íéççã

Passo 4

Explano rapidamente o conceito que vamos usar: vetor posição.
\text{Se um ponto }P\text{ tem distâncias }x,y,z\text{ medidas a partir da origem ao longo de }\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k},â
então o vetor posição é
\vec{r}_P = x\,\hat{\imath} + y\,\hat{\jmath} + z\,\hat{k}.
Aqui x é a coordenada na direção de \hat{\imath} (metros à direita do O), y é a coordenada na direção de \hat{\jmath} (metros ao longo da outra parede a partir do O) e z é a altura em metros. Na prova: meça (ou use dados) as projeções ortogonais do ponto sobre os eixos e coloque-as nesses componentes.

Passo 5

Vou explicar como eu escolhi as posições numéricas (para você reproduzir com suas medidas):
  • Para um objeto encostado em uma parede, uma das componentes x ou y será 0. Por exemplo, um ponto no plano da lousa tem x=0 se a lousa estiver sobre a parede x=0.
  • A componente z é a altura do ponto acima do chão (por exemplo, centro da lousa pode estar a 1,2\\ \text{m}).
  • Para objetos no interior da sala, meço a distância horizontal ao longo de \hat{\imath} e \hat{\jmath} desde a origem até o ponto de referência e anoto a altura.
Agora uso suposições numéricas concretas (essas seriam substituídas pelas medidas reais na sua sala):
Suposições (em metros):
\begin{aligned} &\text{centro da lousa: }x=0,\\ y=3,\\ z=1,2.\\\ &\text{maçaneta da porta: }x=6,\\ y=0,\\ z=1,0.\\\ &\text{centro da mesa do professor: }x=2,\\ y=3{,}5,\\ z=0{,}8.\\\ &\text{centro do tampo da carteira (frente): }x=3{,}5,\\ y=2,\\ z=0{,}75.\\\ &\text{centro da lixeira (no chão, canto traseiro): }x=6{,}5,\\ y=4{,}5,\\ z=0. \end{aligned}çã

Passo 6

Converto cada posição em vetor usando a fórmula \vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}. Faço isso de forma detalhada para cada objeto (mostrando cada componente):
Para a lousa (A):
\vec{r}_{\text{lousa}} = 0\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 1{,}2\hat{k}.
Interpretação: está encostada na parede x=0, a 3\\ \text{m} ao longo da parede a partir do vértice origem e com centro a 1{,}2\\ \text{m} de altura.
Para a maçaneta da porta (B):
\vec{r}_{\text{porta}} = 6\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 1{,}0\hat{k}.
Interpretação: na parede da porta ( y=0 ), a 6\\ \text{m} da origem ao longo da parede, a 1{,}0\\ \text{m} de altura.
Para a mesa do professor (C):
\vec{r}_{\text{mesa}} = 2\hat{\imath} + 3{,}5\hat{\jmath} + 0{,}8\hat{k}.
Interpretação: tampo centrado 2\\ \text{m} para a direita e 3{,}5\\ \text{m} para dentro do quarto a partir da origem, altura do tampo 0{,}8\\ \text{m}.
Para a carteira (D):
\vec{r}_{\text{carteira}} = 3{,}5\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} + 0{,}75\hat{k}.
Interpretação: centro do tampo da carteira em x=3{,}5\\ \text{m},\\ y=2\\ \text{m} e altura do tampo 0{,}75\\ \text{m}.
Para a lixeira (E):
\vec{r}_{\text{lixeira}} = 6{,}5\hat{\imath} + 4{,}5\hat{\jmath} + 0\hat{k}.
Interpretação: centro no chão em um canto traseiro.

Passo 7

Resumo rápido de verificação (como checar na prova):
  • As componentes devem corresponder às distâncias medidas paralelas aos eixos.
  • Um ponto sobre a parede x=0 tem componente x=0. Um ponto sobre a parede y=0 tem y=0.
  • Sempre indique a unidade (m).
  • Se for solicitado, desenhe um croqui (planta) 2D com os eixos x e y e marque os pontos (x,y); adicione uma indicação da altura z ao lado de cada ponto.

Resposta

\vec{r}_{\text{lousa}} = 0\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 1{,}2\hat{k}
\vec{r}_{\text{porta}} = 6\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 1{,}0\hat{k}
\vec{r}_{\text{mesa}} = 2\hat{\imath} + 3{,}5\hat{\jmath} + 0{,}8\hat{k}
\vec{r}_{\text{carteira}} = 3{,}5\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} + 0{,}75\hat{k}
\vec{r}_{\text{lixeira}} = 6{,}5\hat{\imath} + 4{,}5\hat{\jmath} + 0\hat{k}

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