• 34 Para os três vetores seguintes, quanto vale 3 \vec{C} \cdot(2 \vec{A} \times \vec{B}) ?
\begin{aligned} & \vec{A}=2,00 \hat{\mathrm{i}}+3,00 \hat{\mathrm{j}}-4,00 \hat{\mathrm{k}} \\ & \vec{B}=-3,00 \hat{\mathrm{i}}+4,00 \hat{\mathrm{j}}+2,00 \hat{\mathrm{k}} \quad \vec{C}=7,00 \hat{\mathrm{i}}-8,00 \hat{\mathrm{j}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
3\vec{C}\cdot\bigl(2\vec{A}\times\vec{B}\bigr).
As informações dadas são os três vetores:
\vec{A}=2,00\hat{\mathrm{i}}+3,00\hat{\mathrm{j}}-4,00\hat{\mathrm{k}},
\vec{B}=-3,00\hat{\mathrm{i}}+4,00\hat{\mathrm{j}}+2,00\hat{\mathrm{k}},
\vec{C}=7,00\hat{\mathrm{i}}-8,00\hat{\mathrm{j}}+0,00\hat{\mathrm{k}}.
(notando que eu escrevi \vec{C} com componente \hat{\mathrm{k}} igual a 0 porque o enunciado não deu componente em \hat{\mathrm{k}}.)

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade de multiplicação escalar e produtos vetoriais: escalares podem ser agrupados. Ou seja,
3\vec{C}\cdot\bigl(2\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=6\;\vec{C}\cdot\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr).
Isto reduz trabalho: basta calcular \vec{A}\times\vec{B}, depois o produto escalar com \vec{C}, e multiplicar por 6.

Passo 3

Vou lembrar como calcular o produto vetorial. Se \vec{X}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{Y}=(y_1,y_2,y_3), então
\vec{X}\times\vec{Y}=\bigl(x_2y_3-x_3y_2,\;x_3y_1-x_1y_3,\;x_1y_2-x_2y_1\bigr).
Cada componente vem de um pequeno determinante 2×2. Aqui, identifiquemos componentes:
\vec{A}=(2,\,3,\,-4),\qquad \vec{B}=(-3,\,4,\,2).

Passo 4

Calculemos \vec{A}\times\vec{B} componente a componente.
Componente \hat{\mathrm{i}}:
(\vec{A}\times\vec{B})_x=3\cdot2-(-4)\cdot4=6-(-16)=6+16=22.
Componente \hat{\mathrm{j}}:
(\vec{A}\times\vec{B})_y=(-4)\cdot(-3)-2\cdot2=12-4=8.
Observação sobre sinal: a fórmula dada no passo anterior fornece exatamente este valor para a segunda componente (sem trocar o sinal aqui, pois já usamos a forma direta).
Componente \hat{\mathrm{k}}:
(\vec{A}\times\vec{B})_z=2\cdot4-3\cdot(-3)=8-(-9)=8+9=17.
Portanto
\vec{A}\times\vec{B}=(22,\,8,\,17).

Passo 5

Multiplico o produto vetorial por 2 (porque a expressão original tinha 2\vec{A}\times\vec{B}):
2\bigl(\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=(44,\,16,\,34).

Passo 6

Agora calcule 3\vec{C}. Como \vec{C}=(7,\,-8,\,0),
3\vec{C}=(21,\,-24,\,0).

Passo 7

Vamos lembrar o produto escalar: se \vec{U}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{V}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{U}\cdot\vec{V}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Aqui \vec{U}=3\vec{C}=(21,-24,0) e \vec{V}=2(\vec{A}\times\vec{B})=(44,16,34).

Passo 8

Calculemos o produto escalar termo a termo:
3\vec{C}\cdot\bigl(2\vec{A}\times\vec{B}\bigr)=21\cdot44+(-24)\cdot16+0\cdot34.
Agora as contas:
21\cdot44=21\cdot(40+4)=840+84=924,
24\cdot16=24\cdot(10+6)=240+144=384,
e como o segundo termo tem sinal negativo, temos -24\cdot16 = -384.
Somando:
924-384=540.

Passo 9

Resumo rápido: usei a propriedade de escalares para obter 6\,\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}), calculei \vec{A}\times\vec{B}=(22,8,17), em seguida multipliquei por 2 e por 3 conforme necessário e fiz o produto escalar, resultando em 540.

Resposta

540

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