Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem. Seu primeiro deslocamento é
; seu segundo deslocamento é
, cujo módulo é igual a
, orientado formando um ângulo de
, medido considerando-se uma rotação do eixo
para o eixo
. A resultante
dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a
, porém formando um ângulo de
, medindo considerando-se uma rotação do eixo + Ox para o eixo
.
a)Determine as componentes do vetor
;
b)Encontre o ângulo formados entre os vetores
e
.
a)Determine as componentes do vetor
b)Encontre o ângulo formados entre os vetores
Passo 1
O enunciado dá os deslocamentos vetoriais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
Passo 2
Escolher um referencial cartesiano padrão e converter as direções dadas para o ângulo padrão (medido no sentido anti-horário a partir de
). Explicação didática: em cálculo de componentes usamos o ângulo
medido no sentido anti-horário a partir de
. Se o enunciado deu um ângulo medido no sentido contrário, devemos ajustar com sinal negativo.
Aplicando isso aqui:
Como sentido horário é o negativo do sentido padrão, tomamos
(Resumindo:
e
.)
Passo 3
Lembrar a fórmula para componentes de um vetor no plano: se um vetor tem módulo
e direção
(medida anti-horário a partir de
), então
Aqui:
é a componente na direção
e
na direção
. Essas fórmulas vêm da decomposição geométrica do vetor sobre os eixos usando trigonometria básica (catetos de um triângulo retângulo).
Vou aplicar isso primeiro a
.
Passo 4
Calcular as componentes de
:
Observação trigonométrica útil:
e
. Assim podemos usar os valores positivos de
e
com o sinal apropriado.
Usando valores numéricos (aproximações usuais de calculadora):
Usando valores numéricos (aproximações usuais de calculadora):
Portanto
Passo 5
Calcular as componentes de
do mesmo modo:
Usando aproximações:
Logo
Passo 6
Agora usamos a relação vetorial dada
. Em componentes isso vira soma componente a componente:
Isolando as componentes de
:
Substituindo os valores aproximados dos passos anteriores:
(Para ter mais precisão nos cálculos internos, os valores exatos intermediários eram
,
,
,
; com esses temos
e
, que arredondei para as cifras práticas acima.)]
Passo 7
Agora vamos achar o ângulo
entre
e
. Fórmula usada (produto escalar): para dois vetores no plano
onde o produto escalar também é computado por componentes:
Procedimento:
- calcular produto escalar com as componentes encontradas; 2) calcular o módulo de
por (fórmula do teorema de Pitágoras aplicada às componentes); 3) isolar e aplicar arco cosseno.
Cálculos (usando valores com mais casas para reduzir erro):
Produto escalar:
Módulo de
:
Já
(dado). Então
Tomando arco-cosseno:
Intuição: o cosseno negativo indica que o ângulo é obtuso (>
), e o valor perto de
é consistente com o ponto acima.]
Resposta
Ângulo entre