Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem. Seu primeiro deslocamento é \boldsymbol{A}; seu segundo deslocamento é \boldsymbol{B}, cujo módulo é igual a 8,20 \mathrm{~cm}, orientado formando um ângulo de 53,0^{\circ}, medido considerando-se uma rotação do eixo +O x para o eixo -O y. A resultante \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 8,20 \mathrm{~cm}, porém formando um ângulo de 32,0^{\circ}, medindo considerando-se uma rotação do eixo + Ox para o eixo +O y.
a)Determine as componentes do vetor \boldsymbol{A};
b)Encontre o ângulo formados entre os vetores \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}.

Passo 1

O enunciado dá os deslocamentos vetoriais e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados:
\begin{aligned} &\text{Vetor } \boldsymbol{B}:\; |\boldsymbol{B}| = 8,20\\ \mathrm{cm}, \\\ &\quad\text{direção: }53,0^\circ \text{ medida a partir do eixo }+O x \text{ em direção a }-O y.\\[4pt] &\text{Vetor resultante } \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}:\; |\boldsymbol{C}| = 8,20\\ \mathrm{cm}, \\\ &\quad\text{direção: }32,0^\circ \text{ medida a partir do eixo }+O x \text{ em direção a }+O y.\\[4pt] &\text{Queremos encontrar:}\\\ &\quad\text{(a) as componentes }(A_x,A_y)\text{ do vetor }\boldsymbol{A};\\\ &\quad\text{(b) o ângulo entre }\boldsymbol{A}\text{ e }\boldsymbol{B}. \end{aligned}çãçãçãçãâ]

Passo 2

Escolher um referencial cartesiano padrão e converter as direções dadas para o ângulo padrão (medido no sentido anti-horário a partir de +O x). Explicação didática: em cálculo de componentes usamos o ângulo \theta medido no sentido anti-horário a partir de +O x. Se o enunciado deu um ângulo medido no sentido contrário, devemos ajustar com sinal negativo.
Aplicando isso aqui:
\text{Para } \boldsymbol{C}\text{, o enunciado já deu o ângulo no sentido }+O x\to +O y,\\ \theta_C=32,0^\circ.áâ
\text{Para } \boldsymbol{B}\text{, o enunciado disse "medido do }+O x\text{ para }-O y\text{", ou seja, no sentido horário.}á
Como sentido horário é o negativo do sentido padrão, tomamos
\theta_B = -53,0^\circ.
(Resumindo: \theta_C=32,0^\circ e \theta_B=-53,0^\circ.)

Passo 3

Lembrar a fórmula para componentes de um vetor no plano: se um vetor tem módulo |\boldsymbol{V}| e direção \theta (medida anti-horário a partir de +O x), então
V_x = |\boldsymbol{V}|\cos\theta,\qquad V_y = |\boldsymbol{V}|\sin\theta.
Aqui: V_x é a componente na direção +O x e V_y na direção +O y. Essas fórmulas vêm da decomposição geométrica do vetor sobre os eixos usando trigonometria básica (catetos de um triângulo retângulo).
Vou aplicar isso primeiro a \boldsymbol{B}.

Passo 4

Calcular as componentes de \boldsymbol{B}:
\begin{aligned} B_x &= |\boldsymbol{B}|\cos\theta_B = 8,20\cos(-53,0^\circ),\\[4pt] B_y &= |\boldsymbol{B}|\sin\theta_B = 8,20\sin(-53,0^\circ). \end{aligned}
Observação trigonométrica útil: \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Assim podemos usar os valores positivos de \cos53,0^\circ e \sin53,0^\circ com o sinal apropriado.
Usando valores numéricos (aproximações usuais de calculadora):
\cos53,0^\circ \approx 0,6018,\qquad \sin53,0^\circ \approx 0,7986.
Portanto
\begin{aligned} B_x &\approx 8,20\times 0,6018 \approx 4,94\\ \mathrm{cm},\\[4pt] B_y &\approx 8,20\times(-0,7986) \approx -6,55\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular as componentes de \boldsymbol{C} do mesmo modo:
\begin{aligned} C_x &= |\boldsymbol{C}|\cos\theta_C = 8,20\cos(32,0^\circ),\\[4pt] C_y &= |\boldsymbol{C}|\sin\theta_C = 8,20\sin(32,0^\circ). \end{aligned}
Usando aproximações:
\cos32,0^\circ \approx 0,8480,\qquad \sin32,0^\circ \approx 0,5299.
Logo
\begin{aligned} C_x &\approx 8,20\times 0,8480 \approx 6,95\\ \mathrm{cm},\\[4pt] C_y &\approx 8,20\times 0,5299 \approx 4,35\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}]

Passo 6

Agora usamos a relação vetorial dada \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}. Em componentes isso vira soma componente a componente:
\begin{aligned} C_x &= A_x + B_x,\\[4pt] C_y &= A_y + B_y. \end{aligned}
Isolando as componentes de \boldsymbol{A}:
\begin{aligned} A_x &= C_x - B_x,\\[4pt] A_y &= C_y - B_y. \end{aligned}
Substituindo os valores aproximados dos passos anteriores:
\begin{aligned} A_x &\approx 6,95 - 4,94 = 2,01\\ \mathrm{cm},\\[4pt] A_y &\approx 4,35 - (-6,55) = 4,35 + 6,55 = 10,90\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}
(Para ter mais precisão nos cálculos internos, os valores exatos intermediários eram B_x\approx4,935, B_y\approx-6,5487, C_x\approx6,9548, C_y\approx4,3453; com esses temos A_x\approx2,0198 e A_y\approx10,8939, que arredondei para as cifras práticas acima.)]

Passo 7

Agora vamos achar o ângulo \varphi entre \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}. Fórmula usada (produto escalar): para dois vetores no plano
\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B} = |\boldsymbol{A}|\,|\boldsymbol{B}|\cos\varphi,
onde o produto escalar também é computado por componentes:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_x B_x + A_y B_y.
Procedimento:
  1. calcular produto escalar com as componentes encontradas; 2) calcular o módulo de \boldsymbol{A} por |\boldsymbol{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2} (fórmula do teorema de Pitágoras aplicada às componentes); 3) isolar \cos\varphi e aplicar arco cosseno.
Cálculos (usando valores com mais casas para reduzir erro):
\begin{aligned} A_x &\approx 2,0198,\quad A_y\approx 10,8939,\\[4pt] B_x &\approx 4,9350,\quad B_y\approx -6,5487. \end{aligned}
Produto escalar:
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} \approx 2,0198\times 4,9350 + 10,8939\times(-6,5487) \approx 9,9659 -71,3182 \approx -61,3523.
Módulo de \boldsymbol{A}:
|\boldsymbol{A}|\approx \sqrt{2,0198^2 + 10,8939^2} \approx \sqrt{4,0795 + 118,6597} \approx \sqrt{122,7392} \approx 11,08\\ \mathrm{cm}.
|\boldsymbol{B}| = 8,20\\ \mathrm{cm} (dado). Então
\cos\varphi = \dfrac{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}}{|\boldsymbol{A}|\,|\boldsymbol{B}|} \approx \dfrac{-61,3523}{11,08\times 8,20} \approx \dfrac{-61,3523}{90,856} \approx -0,6753.
Tomando arco-cosseno:
\varphi \approx \operatorname{arccos}(-0,6753) \approx 132,6^\circ.
Intuição: o cosseno negativo indica que o ângulo é obtuso (> 90^\circ), e o valor perto de 133^\circ é consistente com o ponto acima.]

Resposta

A_x \approx 2,02\\ \mathrm{cm},\\ A_y \approx 10,89\\ \mathrm{cm}
Ângulo entre \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}: \varphi \approx 132,6^\circ

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