1. Construa a matriz A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 3}, definida por a_{i j}=(-1)^{i+j}.

Passo 1

O enunciado pede para construir a matriz A=\left(a_{ij}\right)_{2\times 3} cuja entrada geral é dada por a_{ij}=(-1)^{i+j}.
Informações dadas:
  • A matriz tem 2 linhas e 3 colunas (ou seja, i\in\{1,2\} e j\in\{1,2,3\}).
  • Cada entrada é definida por a_{ij}=(-1)^{i+j}.
O que se pede:
  • Determinar todas as entradas a_{ij} e montar a matriz A.

Passo 2

Entender a função (-1)^k. Propriedade importante:
  • Se k é par, então (-1)^k=1.
  • Se k é ímpar, então (-1)^k=-1.
Explicação curta e intuitiva: (-1)^1=-1, (-1)^2=1, e como multiplicar por -1 alterna o sinal, potências seguintes repetem esse padrão par/ímpar.

Passo 3

Calcular as entradas da primeira linha ( i=1), variando j=1,2,3.
  • Para j=1: i+j=1+1=2 que é par, logo a_{11}=(-1)^{1+1}=(-1)^2=1.
  • Para j=2: i+j=1+2=3 que é ímpar, logo a_{12}=(-1)^{1+2}=(-1)^3=-1.
  • Para j=3: i+j=1+3=4 que é par, logo a_{13}=(-1)^{1+3}=(-1)^4=1.

Passo 4

Calcular as entradas da segunda linha ( i=2), variando j=1,2,3.
  • Para j=1: i+j=2+1=3 que é ímpar, logo a_{21}=(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1.
  • Para j=2: i+j=2+2=4 que é par, logo a_{22}=(-1)^{2+2}=(-1)^4=1.
  • Para j=3: i+j=2+3=5 que é ímpar, logo a_{23}=(-1)^{2+3}=(-1)^5=-1.

Passo 5

Resumo dos resultados (já calculadas todas as seis entradas): primeira linha \;1,\,-1,\,1;; segunda linha \;-1,\,1,\,-1. Confirmar que segue o padrão alternado de sinais devido à paridade de i+j.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}]

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