Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \d & e & f \\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule : \left|\begin{array}{ccc}5 a & 5 b & 5 c \\\ 5 d & 5 e & 5 f \\\ 5 & 5 & 5\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| = -3.
Propriedade importante de determinantes (explicando passo a passo): se uma linha (ou uma coluna) de uma matriz é multiplicada por um escalar k, então o determinante da nova matriz é igual a k vezes o determinante original. Em símbolos, se A tem linhas R_1,R_2,R_3 e A' é igual a A com a linha R_i substituída por kR_i, então
\det(A') = k\det(A).
Isto vem da linearidade do determinante em cada linha: o determinante é linear em cada linha quando as outras ficam fixas.
Passo 3
No nosso caso, cada uma das três linhas do determinante foi multiplicada por 5. Podemos então fatorar 5 de cada linha. Ao retirar um fator 5 de cada uma das três linhas obtemos um fator total de 5\cdot5\cdot5=5^{3}. Em fórmula:
\left|\begin{array}{ccc}5a & 5b & 5c \\\\ 5d & 5e & 5f \\\\ 5 & 5 & 5\end{array}\right| =5\cdot5\cdot5 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| =5^{3}\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|.
Passo 4
Substituindo o valor dado do determinante original, calculamos