Se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \d & e & f \\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule :
\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & -c \\\ -d & -e & -f \\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação (peguei isso do próprio enunciado):
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = -3.
A pergunta é calcular o valor de
\left|\begin{array}{ccc} -a & -b & -c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade fundamental de determinantes, que é a que vamos usar: se uma linha (ou coluna) de uma matriz é multiplicada por um escalar k, então o determinante da matriz é multiplicado por k.
Explicando de forma simples e intuitiva: o determinante é uma função multilinear nas linhas (ou nas colunas). Isso quer dizer que, mantendo as outras linhas fixas, o determinante é uma função linear da linha que mudou. Assim, multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
Exemplo rápido em 2\times2 para fixar a ideia. Seja
M=\begin{pmatrix}x & y\\\ u & v\end{pmatrix}, \qquad \det(M)=xv-yu.
Se multiplicarmos a primeira linha por k, obtemos
\det\begin{pmatrix}kx & ky\\\ u & v\end{pmatrix}=k(xv-yu)=k\det(M).

Passo 3

No nosso caso queremos passar de
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|
para
\left|\begin{array}{ccc} -a & -b & -c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right|
primeiro (apenas como passo intermediário), ou seja, multiplicar a primeira linha por -1. Pela propriedade do passo anterior, isso multiplica o determinante por -1. Como o determinante original vale -3, após multiplicar a primeira linha por -1 o determinante fica
-1 \cdot (-3)=3.

Passo 4

Agora multiplicamos também a segunda linha por -1. Aplicando novamente a mesma propriedade, multiplicar a segunda linha por -1 multiplica o determinante atual por -1. Assim, depois de multiplicar as duas primeiras linhas por -1 (uma após a outra), o determinante é
(-1)\cdot 3 = -3.
Observando mais direto: multiplicar a primeira e a segunda linha por -1 equivale a multiplicar o determinante por (-1)\cdot(-1)=1, ou seja, o determinante fica igual ao original.

Passo 5

Portanto
\left|\begin{array}{ccc} -a & -b & -c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = (-1)\cdot(-1)\cdot \left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right| = 1\cdot(-3) = -3.

Resposta

-3

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