Construa as matrizes:
\quad A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{c}i+j, i=j \\\\ 10, i \neq j\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado pede que eu construa a matriz A=(a_{ij})_{3\times3}\) definida pela regra \[a_{ij}=\begin{cases} i+j, & \text{se } i=j,\\[4pt] 10, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Informações dadas:
\text{(i) } A \text{ é } 3\times3;\qquad \text{(ii) a regra para cada entrada } a_{ij} \text{ está acima.}éá
O que se pede: escrever explicitamente todos os elementos de A\] (ou seja, montar a matriz \(3\times3 com os valores calculados).]

Passo 2

Entendendo a notação: a_{ij} é o elemento que fica na linha i e coluna j da matriz. Como a matriz é 3\times3, os índices possíveis são i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2,3\}. Vou calcular cada a_{ij} aplicando a regra do enunciado para os pares (i,j).

Passo 3

Primeiro escrevo a estrutura geral da matriz A com entradas genéricas:
A=(a_{ij})_{3\times3}= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.
Agora vou preencher cada a_{ij} usando a regra dada.]

Passo 4

Calculo das entradas na diagonal (caso i=j): aplico a_{ii}=i+i=2i.
a_{11}=1+1=2,\qquad a_{22}=2+2=4,\qquad a_{33}=3+3=6.
Expliquei: para cada posição diagonal somo o índice da linha com o índice da coluna, que são iguais.

Passo 5

Calculo das entradas fora da diagonal (caso i\neq j): pela regra, todos valem 10. Assim:
a_{12}=10,\; a_{13}=10,\; a_{21}=10,\; a_{23}=10,\; a_{31}=10,\; a_{32}=10.
Observação rápida: isso deixa a matriz com todos os elementos fora da diagonal iguais a 10.

Passo 6

Agora monto a matriz A substituindo os valores encontrados na estrutura do passo 3:
A= \begin{pmatrix} 2 & 10 & 10\\[4pt] 10 & 4 & 10\\[4pt] 10 & 10 & 6 \end{pmatrix}.
Fiz uma checagem rápida: são 9 entradas preenchidas e a matriz é 3\times3, como pedido.]

Resposta

A= \begin{pmatrix} 2 & 10 & 10\\[4pt] 10 & 4 & 10\\[4pt] 10 & 10 & 6 \end{pmatrix}]

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