Determine x e y, tal que:
\left[\begin{array}{cc}x^{2} & y \\\\ 1 & x\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y tais que duas matrizes 2\times2 sejam iguais. As informações dadas são as duas matrizes:
\text{Esquerda}=\begin{pmatrix}x^{2} & y \\[4pt] 1 & x\end{pmatrix}, \quad \text{Direita}=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Portanto a pergunta concreta é: quais são os valores de x e de y que tornam essas matrizes idênticas (iguais entrada a entrada)?]

Passo 2

Propriedade importante (aquela que salva tempo na prova): duas matrizes de mesma ordem são iguais se, e somente se, todos os seus elementos correspondentes forem iguais. Ou seja, igualar matrizes significa igualar cada entrada na mesma posição. Isso nos permite transformar o problema matricial em um sistema de equações simples — uma equação para cada posição (i,j).

Passo 3

Aplicando a igualdade entrada a entrada às matrizes dadas obtemos as seguintes equações (uma para cada posição):
  • posição (1,1): x^{2} = 4,
  • posição (1,2): y = -1,
  • posição (2,1): 1 = 1 (essa já é verdade e não dá informação nova),
  • posição (2,2): x = 2.
Então o sistema é
\begin{cases} x^{2} = 4,\\[4pt] y = -1,\\[4pt] x = 2. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver as equações começando pela mais direta: da posição (2,2) temos x = 2. Anote isso — é uma informação direta e muito útil porque reduz ambiguidades.
Agora verifique consistência com x^{2}=4. Substituindo x=2 em x^{2}=4 temos 2^{2}=4, que é verdadeiro. Observação didática: a equação x^{2}=4 isoladamente tem duas soluções formais, x=2 e x=-2. Porém, como a igualdade de matrizes também impõe x=2 pela posição (2,2), a solução x=-2 é incompatível com essa outra equação e deve ser descartada. Sempre que você tiver várias equações, verifique consistência entre elas — não basta resolver cada uma isoladamente.

Passo 5

Resolva y: da posição (1,2) vem y=-1. Não há ambiguidade aí, é direto.

Passo 6

Faça a verificação final (cheque rápido, ótimo hábito em provas): com x=2 e y=-1 a matriz da esquerda fica
\begin{pmatrix}x^{2} & y \\[4pt] 1 & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2^{2} & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
que é exatamente a matriz da direita. Está consistente.]

Resposta

x=2
y=-1

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