Construa o polinômio interpolador de Newton para os pontos
e
.
Passo 1
O problema pede: construir o polinômio interpolador de Newton que passa pelos pontos
,
e
.
Informações dadas: os três pontos ordenados são ,
e
.
O que se espera como resultado: um polinômio (na forma de Newton) que satisfaça
,
e
.
Informações dadas: os três pontos ordenados são
O que se espera como resultado: um polinômio
Passo 2
Breve aula sobre o que é o polinômio de Newton e as diferenças divididas (calma, vou explicar devagar).
O polinômio interpolador de Newton, para três pontos com abscissas , tem a forma
O polinômio interpolador de Newton, para três pontos com abscissas
Aqui:
-
é simplesmente o valor da função no nó , ou seja . -
é a diferença dividida de primeira ordem entre e , definida por
-
é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
Essas diferenças divididas são exatamente os coeficientes que aparecem na forma de Newton. É uma forma muito prática porque, se você acrescentar mais pontos, basta calcular as novas diferenças divididas e adicionar mais termos.
Passo 3
Calcule as diferenças divididas de ordem zero (os próprios valores):
Pegando os pontos fornecidos:
Pegando os pontos fornecidos:
Passo 4
Calcule as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
Para
e
:
Para
e
:
Passo 5
Calcule a diferença dividida de segunda ordem com a fórmula
Substituindo os valores que já temos:
Passo 6
Agora monte o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados:
Substituindo
,
e
, obtemos
Ou seja,
Passo 7
Vou expandir o polinômio passo a passo (útil para conferir e para usar na prova sem memorizar a forma de Newton). Primeiro calcule
:
Multiplicando por
:
Agora some
:
Passo 8
Checagem rápida (sempre bom verificar):
- Em
: (confere). - Em
: (confere). - Em
: (confere).
Tudo bate, estamos ótimos — você deu match com os pontos.