Construa o polinômio interpolador de Newton para os pontos (1,0),(2,1) e (3,6).

Passo 1

O problema pede: construir o polinômio interpolador de Newton que passa pelos pontos (1,0), (2,1) e (3,6).
Informações dadas: os três pontos ordenados são (x_0,y_0)=(1,0), (x_1,y_1)=(2,1) e (x_2,y_2)=(3,6).
O que se espera como resultado: um polinômio P(x) (na forma de Newton) que satisfaça P(1)=0, P(2)=1 e P(3)=6.

Passo 2

Breve aula sobre o que é o polinômio de Newton e as diferenças divididas (calma, vou explicar devagar).
O polinômio interpolador de Newton, para três pontos com abscissas x_0,x_1,x_2, tem a forma
P(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1]\,(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Aqui:
  • f[x_i] é simplesmente o valor da função no nó x_i, ou seja f[x_i]=y_i.
  • f[x_i,x_j] é a diferença dividida de primeira ordem entre x_i e x_j, definida por
f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}.
  • f[x_i,x_j,x_k] é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Essas diferenças divididas são exatamente os coeficientes que aparecem na forma de Newton. É uma forma muito prática porque, se você acrescentar mais pontos, basta calcular as novas diferenças divididas e adicionar mais termos.

Passo 3

Calcule as diferenças divididas de ordem zero (os próprios valores):
Pegando os pontos fornecidos:
f[x_0]=f[1]=0,\qquad f[x_1]=f[2]=1,\qquad f[x_2]=f[3]=6.

Passo 4

Calcule as diferenças divididas de primeira ordem usando a fórmula
f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}.
Para x_0=1 e x_1=2:
f[1,2]=\frac{f[2]-f[1]}{2-1}=\frac{1-0}{1}=1.
Para x_1=2 e x_2=3:
f[2,3]=\frac{f[3]-f[2]}{3-2}=\frac{6-1}{1}=5.

Passo 5

Calcule a diferença dividida de segunda ordem com a fórmula
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Substituindo os valores que já temos:
f[1,2,3]=\frac{f[2,3]-f[1,2]}{3-1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Agora monte o polinômio de Newton com os coeficientes encontrados:
P(x)=f[1] + f[1,2]\,(x-1) + f[1,2,3]\,(x-1)(x-2).
Substituindo f[1]=0, f[1,2]=1 e f[1,2,3]=2, obtemos
P(x)=0 + 1\cdot(x-1) + 2\cdot(x-1)(x-2).
Ou seja,
P(x)=(x-1) + 2(x-1)(x-2).

Passo 7

Vou expandir o polinômio passo a passo (útil para conferir e para usar na prova sem memorizar a forma de Newton). Primeiro calcule (x-1)(x-2):
(x-1)(x-2)=x^2 - 3x + 2.
Multiplicando por 2:
2(x-1)(x-2)=2x^2 -6x +4.
Agora some (x-1):
P(x)=(x-1) + (2x^2 -6x +4)=2x^2 -5x +3.

Passo 8

Checagem rápida (sempre bom verificar):
  • Em x=1: P(1)=2\cdot1^2 -5\cdot1 +3 = 2-5+3=0 (confere).
  • Em x=2: P(2)=2\cdot4 -5\cdot2 +3 =8-10+3=1 (confere).
  • Em x=3: P(3)=2\cdot9 -5\cdot3 +3 =18-15+3=6 (confere).
    Tudo bate, estamos ótimos — você deu match com os pontos.

Resposta

P(x)=(x-1) + 2(x-1)(x-2)
P(x)=2x^{2}-5x+3

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