Calcular, se existir, cada um dos limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+x^{2} y}{x^{2}-y^{2}} \operatorname{sen}(x-y)

Passo 1

O problema pede calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\operatorname{sen}(x-y).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é a função f(x,y)=\dfrac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\operatorname{sen}(x-y).
  • O domínio natural desta função exclui os pontos onde x^{2}-y^{2}=0 (ou seja, as retas y=\pm x, exceto possivelmente a origem).
  • Precisamos decidir se o limite existe quando (x,y) tende a (0,0) por pontos do domínio, e, em caso afirmativo, encontrar seu valor.

Passo 2

Primeira ideia útil: usar a razão clássica que aproxima o seno perto de zero. Definimos a função auxiliar
g(x,y)=\frac{\sin(x-y)}{x-y},
quando x\neq y. Sabemos a propriedade fundamental (que você pode lembrar da análise de uma variável):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Isso significa que g(x,y)\to 1 quando (x,y)\to(0,0). Além disso, para todo t\neq0 vale |\sin t|\le |t|, logo
\left|\frac{\sin t}{t}\right|\le 1,
ou seja g é limitada em módulo por 1 onde está definida.

Passo 3

Reescrevemos a função usando g. Para (x,y) com x\neq y e x^{2}\neq y^{2} (pontos do domínio), temos
\frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\sin(x-y) = \frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\,(x-y)\,g(x,y).
Agora calculamos o produto no numerador:
(x^{3}+x^{2}y)(x-y)=x^{4}-x^{2}y^{2}=x^{2}(x^{2}-y^{2}).
Substituindo isso na expressão anterior e cancelando x^{2}-y^{2} (válido porque estamos considerando pontos do domínio onde x^{2}-y^{2}\neq0), obtemos a simplificação exata
\frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\sin(x-y)=x^{2}\,g(x,y).

Passo 4

Comentário sobre a validade da manipulação: a igualdade da etapa anterior vale para todos os pontos do domínio próximos à origem (ou seja, para todos os (x,y) com x^{2}\neq y^{2} e x\neq y). A função original não está definida quando x^{2}-y^{2}=0, por isso não precisamos nem podemos avaliar a expressão nesses pontos; para o limite precisamos considerar só sequências de pontos do domínio que tendam a (0,0). A identidade f(x,y)=x^{2}g(x,y) é válida nesses pontos do domínio.

Passo 5

Agora usemos estimativas para concluir o limite. Pelo item do Passo 2, temos |g(x,y)|\le 1 sempre que x\neq y. Então, para pontos do domínio próximos à origem,
\left|\frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\sin(x-y)\right| = |x^{2}||g(x,y)| \le |x^{2}|.
Como |x^{2}|\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade acima e o Teorema do Aperto (princípio do sanduíche) implicam que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{2}-y^{2}}\sin(x-y)=0,
considerando apenas pontos do domínio (isto é suficiente para o conceito de limite).

Passo 6

Alternativamente, usando que g(x,y)\to 1 quando (x,y)\to(0,0), e que x^{2}\to0, pelo produto de limites temos x^{2}g(x,y)\to 0. Isso reforça a conclusão anterior de forma direta.

Resposta

0

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