Substituindo isso na expressão anterior e cancelando x^{2}-y^{2} (válido porque estamos considerando pontos do domínio onde x^{2}-y^{2}\neq0), obtemos a simplificação exata
Comentário sobre a validade da manipulação: a igualdade da etapa anterior vale para todos os pontos do domínio próximos à origem (ou seja, para todos os (x,y) com x^{2}\neq y^{2} e x\neq y). A função original não está definida quando x^{2}-y^{2}=0, por isso não precisamos nem podemos avaliar a expressão nesses pontos; para o limite precisamos considerar só sequências de pontos do domínio que tendam a (0,0). A identidade f(x,y)=x^{2}g(x,y) é válida nesses pontos do domínio.
Passo 5
Agora usemos estimativas para concluir o limite. Pelo item do Passo 2, temos |g(x,y)|\le 1 sempre que x\neq y. Então, para pontos do domínio próximos à origem,
considerando apenas pontos do domínio (isto é suficiente para o conceito de limite).
Passo 6
Alternativamente, usando que g(x,y)\to 1 quando (x,y)\to(0,0), e que x^{2}\to0, pelo produto de limites temos x^{2}g(x,y)\to 0. Isso reforça a conclusão anterior de forma direta.