Determine a para que a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1},(x, y) \neq(0,0) \\\\ 2 a-6, \text { caso contrário }\end{array}\right.á seja contínua no ponto (\mathbf{0}, \mathbf{0}). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o valor de a\) para que a função \[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 2a-6,&\text{caso contrário}, \end{cases}
seja contínua no ponto ((0,0)].
Informações relevantes dadas:
  • A função é dada por uma expressão fracionária para todos os pontos diferentes de (0,0).
  • No ponto (0,0) o valor de f é 2a-6.
  • O objetivo é escolher a de modo que f seja contínua em (0,0).]

Passo 2

O que significa "ser contínua em (0,0)" (explicando devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
  • A função f é contínua em (0,0) se, e somente se, o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) existir e for igual ao valor f(0,0).
  • Aqui, f(0,0)=2a-6. Então preciso calcular
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}
(considerando pontos distintos de (0,0)), e depois impor 2a-6=L.

Passo 3

Analisando a expressão que define f fora de (0,0): note que há um fator y^{2} no numerador e o denominador \sqrt{y^{2}+1}-1 também tende a 0 quando y\to 0. Para calcular o limite, uma boa técnica é racionalizar o denominador (é um truque clássico: multiplicar numerador e denominador pela conjugada). Para y\neq 0 podemos fazer:
\frac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} = \frac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)}{\big(\sqrt{y^{2}+1}-1\big)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)}
O denominador do lado direito é uma diferença de quadrados; calculando:
\big(\sqrt{y^{2}+1}-1\big)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)=\big(y^{2}+1\big)-1=y^{2}.
Substituindo isso, para y\neq 0 obtemos a forma simplificada
\frac{\left(x^{2}+2\right) y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}=(x^{2}+2)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big).
Observação importante (pra você não se perder): essa igualdade vale para todos os pontos com y\neq 0. Para calcular o limite quando (x,y)\to(0,0) podemos considerar apenas pontos com y\neq0 arbitrariamente próximos de zero, então essa simplificação é válida para o cálculo do limite.

Passo 4

Agora calcule o limite da expressão simplificada quando (x,y)\to(0,0). A expressão é
(x^{2}+2)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big).
Vamos ver o que acontece com cada fator quando (x,y)\to(0,0):
  • \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+2)=0^{2}+2=2, porque x^{2}\to 0.
  • \lim_{(x,y)\to(0,0)} \big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)=\sqrt{0^{2}+1}+1=1+1=2, porque \sqrt{y^{2}+1} é contínua e tende a 1 quando y\to 0.
Como o produto de limites (de fatores que têm limite finito) é o limite do produto, temos
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+2)\big(\sqrt{y^{2}+1}+1\big)=2\cdot 2=4.

Passo 5

Condição de continuidade: devemos ter f(0,0)=2a-6=L. Substituindo L=4,
2a-6=4.
Resolvendo:
2a=10\quad\Rightarrow\quad a=5.

Resposta

a=5

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