Construa as possíveis tábuas da operação * sobre G=e, a, b, c, sabendo que ( G, * ) é um grupo.
(Dica: Só existem duas possibilidades, em uma delas cada elemento é seu próprio inverso, e na outra pelo menos um elemento não é seu próprio inverso, neste caso, suponha que a^-1=b).

Passo 1

O enunciado pede para construir todas as tábuas (tábuas de Cayley) de uma operação * em G=e,a,b,c de forma que (G,*) seja um grupo. O conteúdo necessário é a classificação dos grupos de ordem 4 (são, até isomorfismo, apenas o grupo cíclico de ordem 4 e o grupo de Klein) e o uso das propriedades de identidade, inverso e fechamento.

Passo 2

Na primeira possibilidade supomos que todo elemento é seu próprio inverso. Isso significa
a*a=e, b*b=e, c*c=e
A partir disso, para fechar o conjunto precisamos definir produtos entre elementos distintos. Em um grupo de Klein (denotado V4) temos que os três produtos não-triviais dão o quarto elemento:
a*b=c, b*c=a, c*a=b,
e, por comutatividade, também
b*a=c, c*b=a, a*c=b

Passo 3

A tabela de Cayley para o grupo de Klein fica então
c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e

Passo 4

Na segunda possibilidade, pelo menos um elemento não é seu próprio inverso. Usamos a dica a^-1=b. Logo também b^-1=a. Resta c, e em grupos de ordem 4 necessariamente c^2=e, ou seja, c é auto-inverso. Estamos então no grupo cíclico de ordem 4, isomorfo a Z/4Z, onde podemos identificar c=a^2. A seguir determinamos todos os produtos:
a*a&=c,& a*b&=e,& a*c&=b, b*a&=e,& b*b&=c,& b*c&=a, c*a&=b,& c*b&=a,& c*c&=e

Passo 5

A tabela de Cayley para o grupo cíclico de ordem 4 é
c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & c & e & b b & b & e & c & a c & c & b & a & e

Resposta

As duas únicas tábuas possíveis são:
c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & e & c & b b & b & c & e & a c & c & b & a & e (grupo de K<=in)
c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & c & e & b b & b & e & c & a c & c & b & a & e (grupo cíclico de ordem 4) í

Exercícios relacionados