Construa as possíveis tábuas da operação * sobre
, sabendo que (
) é um grupo.
(Dica: Só existem duas possibilidades, em uma delas cada elemento é seu próprio inverso, e na outra pelo menos um elemento não é seu próprio inverso, neste caso, suponha que
.
(Dica: Só existem duas possibilidades, em uma delas cada elemento é seu próprio inverso, e na outra pelo menos um elemento não é seu próprio inverso, neste caso, suponha que
Passo 1
O enunciado pede para construir todas as tábuas (tábuas de Cayley) de uma operação
em
de forma que
seja um grupo. O conteúdo necessário é a classificação dos grupos de ordem 4 (são, até isomorfismo, apenas o grupo cíclico de ordem 4 e o grupo de Klein) e o uso das propriedades de identidade, inverso e fechamento.
Passo 2
Na primeira possibilidade supomos que todo elemento é seu próprio inverso. Isso significa
A partir disso, para fechar o conjunto precisamos definir produtos entre elementos distintos. Em um grupo de Klein (denotado
) temos que os três produtos não-triviais dão o quarto elemento:
e, por comutatividade, também
Passo 3
A tabela de Cayley para o grupo de Klein fica então
Passo 4
Na segunda possibilidade, pelo menos um elemento não é seu próprio inverso. Usamos a dica
. Logo também
. Resta
, e em grupos de ordem 4 necessariamente
, ou seja,
é auto-inverso. Estamos então no grupo cíclico de ordem 4, isomorfo a
, onde podemos identificar
. A seguir determinamos todos os produtos:
Passo 5
A tabela de Cayley para o grupo cíclico de ordem 4 é
Resposta
As duas únicas tábuas possíveis são: