O enunciado pede para mostrar que o vetor é perpendicular à reta dada por
O conteúdo aqui é a definição de vetor normal a uma reta: um vetor é normal (perpendicular) à reta se for ortogonal a qualquer vetor direção dessa reta. Vamos usar produto escalar para verificar essa ortogonalidade.
Passo 2
Sejam e dois pontos quaisquer sobre a reta. Por estarem na reta, eles satisfazem
O vetor direção da reta pode ser escolhido como
Passo 3
Para verificar se vec u é perpendicular a vec v, calculamos o produto escalar
vec u cdot vec v = (a,b)cdot(x2 - x1,;y2 - y1) = a,(x2 - x1) ;+; b,(y2 - y1)
Como a x2 + b y2 + c = 0 e a x1 + b y1 + c = 0, subtraindo essas duas igualdades obtemos
a,(x2 - x1) + b,(y2 - y1) = 0
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vec u cdot vec v = 0,
o que significa que vec u é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor direção vec v da reta.
Resposta
O vetor vec u=(a,b) é perpendicular à reta a x + b y + c = 0, pois seu produto escalar com qualquer vetor direção da reta é zero.