Prove que o vetor u=(a, b) é perpendicular à reta a x+b y+c=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor vec u=(a,b) é perpendicular à reta dada por
a x + b y + c = 0
O conteúdo aqui é a definição de vetor normal a uma reta: um vetor é normal (perpendicular) à reta se for ortogonal a qualquer vetor direção dessa reta. Vamos usar produto escalar para verificar essa ortogonalidade.

Passo 2

Sejam P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) dois pontos quaisquer sobre a reta. Por estarem na reta, eles satisfazem
a x1 + b y1 + c = 0 e a x2 + b y2 + c = 0
O vetor direção vec v da reta pode ser escolhido como
vec v = P1P2 = (x2 - x1,;y2 - y1)

Passo 3

Para verificar se vec u é perpendicular a vec v, calculamos o produto escalar
vec u cdot vec v = (a,b)cdot(x2 - x1,;y2 - y1) = a,(x2 - x1) ;+; b,(y2 - y1)
Como a x2 + b y2 + c = 0 e a x1 + b y1 + c = 0, subtraindo essas duas igualdades obtemos
a,(x2 - x1) + b,(y2 - y1) = 0
Logo
vec u cdot vec v = 0,
o que significa que vec u é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor direção vec v da reta.

Resposta

O vetor vec u=(a,b) é perpendicular à reta a x + b y + c = 0, pois seu produto escalar com qualquer vetor direção da reta é zero.

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