Construa um quadrado de lado 4 unidades com vértices A, B, C e D. Calcule \|\overrightarrow{A C}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado de lado 4 unidades com vértices A,B,C,D. A pergunta é calcular a soma das normas dos vetores \|\overrightarrow{AC}\|+\|\overrightarrow{BC}\|.
Informações relevantes dadas:
  • Lado do quadrado: 4.
  • Vértices rotulados A,B,C,D formando o quadrado (ordem usual é que cada letra vizinha é vértice adjacente).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas simples para representar os vértices facilita os cálculos (isso não muda nada geometricamente, é só para computar). Vou posicionar o quadrado com lados paralelos aos eixos e com A na origem:
A=(0,0),\qquad B=(4,0),\qquad C=(4,4),\qquad D=(0,4).
Esses pontos respeitam que cada lado tem comprimento 4.
Pequena explicação sobre vetores e norma que vou usar:
  • Se um vetor em coordenadas é (x,y), sua norma (comprimento) é dada por
\|\,(x,y)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isto vem diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas projeções do vetor nos eixos.

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AC}. Em coordenadas, subtrai-se a coordenada de A da de C:
\overrightarrow{AC}=C-A=(4,4)-(0,0)=(4,4).
Agora a norma de \overrightarrow{AC} é
\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.
Simplificando \sqrt{32}:
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC}=C-B=(4,4)-(4,0)=(0,4).
A norma de \overrightarrow{BC} é
\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}=4.
Isto faz sentido geometricamente: B e C são vértices adjacentes, então a distância entre eles é o lado do quadrado, 4.

Passo 5

Somar as duas normas obtidas:
\|\overrightarrow{AC}\|+\|\overrightarrow{BC}\|=4\sqrt{2}+4.
Fatorando 4 para ficar mais compacto:
4\sqrt{2}+4=4\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

4\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

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