Construa séries telescópicas de modo que sua correspondente sequência de somas parciais(ou reduzidas) S_{n}, seja dada pelas expressões abaixo:
S_{n}=2^{n+1}-1

Passo 1

O enunciado pede para construir uma série telescópica cuja soma parcial \displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k} seja
S_{n}=2^{n+1}-1.
O conteúdo é séries telescópicas, onde cada termo a_{k} deve ser escrito como diferença de duas quantidades que se cancelam em soma parcial.

Passo 2

Como
S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k},
temos a relação de recorrência para os termos:
a_{k}=S_{k}-S_{k-1},
adotando S_{-1}=0.

Passo 3

Substituindo a expressão de S_{k}:
a_{k}=(2^{k+1}-1)-\bigl(2^{k}-1\bigr)=2^{k}.

Passo 4

Para escrever 2^{k} em forma telescópica, note que, definindo
b_{k}=2^{k+1}-1,
temos
b_{k}-b_{k-1}=(2^{k+1}-1)-\bigl(2^{k}-1\bigr)=2^{k}.
Assim, a_{k}=b_{k}-b_{k-1}.

Passo 5

Logo a série telescópica pode ser escrita como
\sum_{k=0}^{n}a_{k} =\sum_{k=0}^{n}\bigl[b_{k}-b_{k-1}\bigr] =b_{n}-b_{-1} =(2^{n+1}-1)-0 =2^{n+1}-1,
que coincide com S_{n}.

Resposta

A série telescópica é
\sum_{k=0}^{n}\bigl[(2^{k+1}-1)-(2^{k}-1)\bigr]
cuja soma parcial é S_{n}=2^{n+1}-1.

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