Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado: \sum \frac{n+1}{n(n-1)}
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n(n-1)}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar dois testes clássicos: decomposição em frações parciais (para mostrar telescopagem) e, ao final, observar o comportamento dos somatórios para concluir divergência.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos constantes A\) e \(B\) tais que
\[\frac{n+1}{n(n-1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}.
Multiplicando por n(n-1) obtemos
n+1 = A\,n + B\,(n-1) = (A+B)\,n - B.
Comparando coeficientes, vem
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -\,B = 1, \end{cases}
Como a soma parcial não se estabiliza em número finito, a série diverge. O critério usado foi a telescopagem via frações parciais, que mostra explicitamente S_N\to\infty.
Resposta
A série diverge (critério da telescopagem / comportamento harmônico).