Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(g) (p \rightarrow q) \rightarrow[p \vee(q \wedge r) \rightarrow p \wedge(p \vee r)]

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição
\bigl(p \rightarrow q\bigr) \rightarrow \bigl[p \vee (q \wedge r) \rightarrow p \wedge (p \vee r)\bigr].
Informações dadas (tudo que vem do enunciado):
  • As três variáveis proposicionais são p, q e r.
  • A fórmula inteira é a implicação externa \bigl(p \rightarrow q\bigr) \rightarrow (\cdots), onde o consequente é outra implicação \,p \vee (q \wedge r) \rightarrow p \wedge (p \vee r).
    O objetivo: listar, para cada combinação de valores de (p,q,r), o valor de verdade da fórmula inteira.

Passo 2

Relembrando, de forma bem prática, como avaliar conectivos (isso é o que costuma cair na prova):
  • Conjunção \wedge: A\wedge B é verdadeira só quando A é verdadeira e B é verdadeira; caso contrário é falsa.
  • Disjunção \vee: A\vee B é verdadeira quando pelo menos um dos dois é verdadeiro; só é falsa se ambos são falsos.
  • Implicação \rightarrow: A\rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos é verdadeira. Isso é muito usado em prova: “uma implicação só falha se antecedente verdadeiro e consequente falso”.
    Vou usar essas regras passo a passo para criar colunas auxiliares e depois a coluna final.

Passo 3

Escolho as subfórmulas que vou calcular em colunas (útil para organizar):
  1. \,p \rightarrow q (antecedente externo)
  2. \,q \wedge r
  3. \,p \vee (q \wedge r) (antecedente da implicação interna)
  4. \,p \vee r
  5. \,p \wedge (p \vee r) (consequente da implicação interna)
  6. \,p \vee (q \wedge r) \rightarrow p \wedge (p \vee r) (implicação interna)
  7. Fórmula total: \,(p \rightarrow q) \rightarrow [\text{implicação interna}]çã.
Vou avaliar linha a linha para as 8 combinações de (p,q,r).

Passo 4

Defino a ordem das linhas (padrão):
\,(p,q,r) = (\text{V},\text{V},\text{V}), (\text{V},\text{V},\text{F}), (\text{V},\text{F},\text{V}), (\text{V},\text{F},\text{F}),
\;(\text{F},\text{V},\text{V}), (\text{F},\text{V},\text{F}), (\text{F},\text{F},\text{V}), (\text{F},\text{F},\text{F}).
Vou calcular cada subfórmula nas linhas, mostrando a ideia e o valor.

Passo 5

Linha 1: (p,q,r)=(\text{V},\text{V},\text{V}).
  • \,p\rightarrow q: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • \,q\wedge r: \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\vee r: \text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • Implicação interna: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 6

Linha 2: (p,q,r)=(\text{V},\text{V},\text{F}).
  • \,p\rightarrow q: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • \,q\wedge r: \text{V}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • \,p\vee r: \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • Implicação interna: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 7

Linha 3: (p,q,r)=(\text{V},\text{F},\text{V}).
  • \,p\rightarrow q: \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}. (implicação só falsa quando antecedente V e consequente F)
  • \,q\wedge r: \text{F}\wedge\text{V}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • \,p\vee r: \text{V}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • Implicação interna: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}. (implicação com antecedente falso é verdadeira)

Passo 8

Linha 4: (p,q,r)=(\text{V},\text{F},\text{F}).
  • \,p\rightarrow q: \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
  • \,q\wedge r: \text{F}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • \,p\vee r: \text{V}\vee\text{F}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • Implicação interna: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 9

Linha 5: (p,q,r)=(\text{F},\text{V},\text{V}).
  • \,p\rightarrow q: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}. (antecedente F => implicação V)
  • \,q\wedge r: \text{V}\wedge\text{V}=\text{V}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\vee r: \text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{F}\wedge\text{V}=\text{F}.
  • Implicação interna: \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}. (aqui a implicação interna é falsa porque antecedente V e consequente F)
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}. (assim a fórmula inteira é falsa nesta linha)

Passo 10

Linha 6: (p,q,r)=(\text{F},\text{V},\text{F}).
  • \,p\rightarrow q: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  • \,q\wedge r: \text{V}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee r: \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{F}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • Implicação interna: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}. (antecedente falso => implicação verdadeira)
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 11

Linha 7: (p,q,r)=(\text{F},\text{F},\text{V}).
  • \,p\rightarrow q: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • \,q\wedge r: \text{F}\wedge\text{V}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee r: \text{F}\vee\text{V}=\text{V}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{F}\wedge\text{V}=\text{F}.
  • Implicação interna: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 12

Linha 8: (p,q,r)=(\text{F},\text{F},\text{F}).
  • \,p\rightarrow q: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • \,q\wedge r: \text{F}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee(q\wedge r): \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • \,p\vee r: \text{F}\vee\text{F}=\text{F}.
  • \,p\wedge(p\vee r): \text{F}\wedge\text{F}=\text{F}.
  • Implicação interna: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  • Fórmula total: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.

Passo 13

Interpretação final (dica para a prova): a fórmula é falsa apenas na linha onde (p,q,r)=(\text{F},\text{V},\text{V}). Em todas as outras 7 combinações ela é verdadeira. Isso significa que a fórmula não é uma tautologia (ela não é verdadeira em todas as linhas), nem é contraditória (há linhas verdadeiras); é simplesmente contingente.

Resposta

\,p=\text{V},\\ q=\text{V},\\ r=\text{V}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{V},\\ q=\text{V},\\ r=\text{F}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{V},\\ q=\text{F},\\ r=\text{V}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{V},\\ q=\text{F},\\ r=\text{F}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{F},\\ q=\text{V},\\ r=\text{V}\\ \Rightarrow\\ \text{F}
\,p=\text{F},\\ q=\text{V},\\ r=\text{F}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{F},\\ q=\text{F},\\ r=\text{V}\\ \Rightarrow\\ \text{V}
\,p=\text{F},\\ q=\text{F},\\ r=\text{F}\\ \Rightarrow\\ \text{V}

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