Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(e) (p \wedge q \wedge r) \vee(\sim p \wedge q \wedge \sim r) \vee(\sim p \wedge \sim q \wedge \sim r)

Passo 1

O que o enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição
(p \wedge q \wedge r)\vee(\sim p \wedge q \wedge \sim r)\vee(\sim p \wedge \sim q \wedge \sim r).
Informações dadas e objetivo claro:
  • As variáveis são p, q e r.
  • Deve-se listar todas as 2^3=8 combinações possíveis de valores de p,q,r e avaliar a fórmula em cada uma delas.
  • Vou apresentar colunas intermediárias para facilitar: \sim p, \sim q, \sim r, as três conjunções (p\wedge q\wedge r), (\sim p\wedge q\wedge \sim r), (\sim p\wedge \sim q\wedge \sim r) e, por fim, a disjunção das três.

Passo 2

Relembrando as definições (aula rápida, sem pânico):
  • Negação: \sim A vale 1 (V) quando A vale 0 (F), e vale 0 quando A vale 1.
  • Conjunção: A\wedge B vale 1 somente se A=1 e B=1; caso contrário vale 0.
  • Disjunção: A\vee B vale 1 se pelo menos um entre A e B vale 1; só vale 0 se ambos valem 0.
Exemplo rápido: para p=0,\\ q=1,\\ r=0,
  • \sim p=1,\\ \sim q=0,\\ \sim r=1;
  • p\wedge q\wedge r = 0 (porque p=0);
  • \sim p\wedge q\wedge \sim r = 1 (porque \sim p=1,\\ q=1,\\ \sim r=1);
  • a disjunção final será 1.

Passo 3

Plano de trabalho passo a passo:
  1. Listar todas as 8 linhas de combinações de p,q,r.
  2. Calcular \sim p,\\ \sim q,\\ \sim r em cada linha.
  3. Avaliar as três conjunções simples em cada linha.
  4. Avaliar a disjunção (fórmula completa) como o OR das três conjunções.
    Cada cálculo aplicará diretamente as definições do Passo 2.

Passo 4

Calcular \sim p,\\ \sim q,\\ \sim r para todas as combinações. As 8 combinações em ordem usual são
(p,q,r)=
(0,0,0),\\ (0,0,1),\\ (0,1,0),\\ (0,1,1),\\ (1,0,0),\\ (1,0,1),\\ (1,1,0),\\ (1,1,1).
Aplicando negação:
\begin{array}{c c c | c c c} p & q & r & \sim p & \sim q & \sim r\\hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}

Passo 5

Avaliar a primeira conjunção (p\wedge q\wedge r). Lembre-se: é 1 só quando p=1, q=1, r=1 simultaneamente.
\begin{array}{c c c | c} p & q & r & p\wedge q\wedge r\\hline 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

Passo 6

Avaliar a segunda conjunção (\sim p\wedge q\wedge \sim r). Ela vale 1 quando \sim p=1, q=1 e \sim r=1, ou seja quando p=0,\\ q=1,\\ r=0.
\begin{array}{c c c | c} p & q & r & \sim p\wedge q\wedge \sim r\\hline 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}

Passo 7

Avaliar a terceira conjunção (\sim p\wedge \sim q\wedge \sim r). Ela vale 1 somente quando p=0,\\ q=0,\\ r=0.
\begin{array}{c c c | c} p & q & r & \sim p\wedge \sim q\wedge \sim r\\hline 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}

Passo 8

Agora a disjunção final: é 1 quando pelo menos uma das três conjunções anteriores vale 1. Juntando os resultados dos passos 5–7, obtemos a coluna final. Mostro a tabela completa com todas as colunas intermediárias e o resultado final.

Resposta

\begin{array}{c c c | c c c | c} p & q & r & p\wedge q\wedge r & \sim p\wedge q\wedge \sim r & \sim p\wedge \sim q\wedge \sim r & (p\wedge q\wedge r)\vee(\sim p\wedge q\wedge \sim r)\vee(\sim p\wedge \sim q\wedge \sim r)\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}

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