Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(c) (p \vee q) \wedge(p \vee s)

Passo 1

O enunciado pede para construir a tabela-verdade da proposição (p \vee q) \wedge (p \vee s).
Informações dadas (não há mais nada escondido): as proposições atômicas são p, q e s. A tarefa é listar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros/falsos para p,q,s e calcular o valor da fórmula em cada caso.

Passo 2

Antes de começar, vamos revisar como calcular os conectivos usados:
  • A disjunção A \vee B (ou lógico) vale \text{V} quando pelo menos um dos dois A ou B é \text{V}; só vale \text{F} se ambos forem \text{F}.
  • A conjunção A \wedge B (e lógico) vale \text{V} somente quando ambos A e B são \text{V}; caso contrário vale \text{F}.
Aqui uso \text{V} para Verdadeiro e \text{F} para Falso.

Passo 3

Estratégia prática para a tabela-verdade:
  • Vou construir colunas para p, q, s, depois para p \vee q, p \vee s e por fim para (p \vee q) \wedge (p \vee s).
  • As oito linhas correspondem a todas as combinações de \,p,q,s\in\{\text{V},\text{F}\}. Vou listar na ordem padrão: (\text{V},\text{V},\text{V}),(\text{V},\text{V},\text{F}),(\text{V},\text{F},\text{V}),(\text{V},\text{F},\text{F}),(\text{F},\text{V},\text{V}),(\text{F},\text{V},\text{F}),(\text{F},\text{F},\text{V}),(\text{F},\text{F},\text{F}).

Passo 4

Linha 1: p=\text{V},\,q=\text{V},\,s=\text{V}.
  • p \vee q = \text{V} \vee \text{V} = \text{V} (pelo menos um é \text{V}).
  • p \vee s = \text{V} \vee \text{V} = \text{V}.
  • (p \vee q) \wedge (p \vee s) = \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.

Passo 5

Linha 2: p=\text{V},\,q=\text{V},\,s=\text{F}.
  • p \vee q = \text{V} \vee \text{V} = \text{V}.
  • p \vee s = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
  • Resultado: \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.

Passo 6

Linha 3: p=\text{V},\,q=\text{F},\,s=\text{V}.
  • p \vee q = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
  • p \vee s = \text{V} \vee \text{V} = \text{V}.
  • Resultado: \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.

Passo 7

Linha 4: p=\text{V},\,q=\text{F},\,s=\text{F}.
  • p \vee q = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
  • p \vee s = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
  • Resultado: \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.
Observação rápida: se p=\text{V} então ambas as disjunções com p são \text{V}, logo a fórmula inteira será \text{V}. Por isso as quatro primeiras linhas deram \text{V}.

Passo 8

Linha 5: p=\text{F},\,q=\text{V},\,s=\text{V}.
  • p \vee q = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
  • p \vee s = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
  • Resultado: \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.

Passo 9

Linha 6: p=\text{F},\,q=\text{V},\,s=\text{F}.
  • p \vee q = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
  • p \vee s = \text{F} \vee \text{F} = \text{F}.
  • Resultado: \text{V} \wedge \text{F} = \text{F}.

Passo 10

Linha 7: p=\text{F},\,q=\text{F},\,s=\text{V}.
  • p \vee q = \text{F} \vee \text{F} = \text{F}.
  • p \vee s = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
  • Resultado: \text{F} \wedge \text{V} = \text{F}.

Passo 11

Linha 8: p=\text{F},\,q=\text{F},\,s=\text{F}.
  • p \vee q = \text{F} \vee \text{F} = \text{F}.
  • p \vee s = \text{F} \vee \text{F} = \text{F}.
  • Resultado: \text{F} \wedge \text{F} = \text{F}.

Passo 12

Checagem conceitual e simplificação: existe uma identidade lógica útil
(A \vee B) \wedge (A \vee C) \equiv A \vee (B \wedge C).
Aplicando com A=p, B=q, C=s obtemos
(p \vee q) \wedge (p \vee s) \equiv p \vee (q \wedge s).
Isso explica por que a fórmula é verdadeira quando p=\text{V} (toda a expressão fica \text{V}) e, quando p=\text{F}, fica verdadeira somente se q e s forem ambos \text{V} (caso da linha 5). A tabela que construí confirma essa equivalência.

Resposta

p\quad q\quad s\quad (p\vee q)\quad (p\vee s)\quad (p\vee q)\wedge(p\vee s)
\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{V}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{V}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{F}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}\quad\text{V}
\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{F}
\text{F}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}\quad\text{V}\quad\text{F}
\text{F}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{F}\quad\text{F}

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