Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(d) (p \wedge r) \vee \sim(q \wedge s)

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição (p \wedge r) \vee \sim(q \wedge s).
Informações dadas:
  • A fórmula é (p \wedge r) \vee \sim(q \wedge s).
  • As proposições atômicas envolvidas são \,p\,,\,q\,,\,r\,,\,s.
  • A tarefa é listar, para todas as combinações de verdade de \,p,q,r,s, o valor de verdade da expressão composta.

Passo 2

Vamos lembrar (do jeitinho claro) o que cada conectivo faz — porque isso é o que vamos aplicar linha a linha na tabela.
  • Negação \sim A: é verdadeira ( V) quando A é falsa ( F), e falsa ( F) quando A é verdadeira ( V). Exemplo: se A é V então \sim A é F.
  • Conjunção A \wedge B: é verdadeira somente se ambos A e B forem V; em qualquer outro caso é F. Ex.: V \wedge V = V; V \wedge F = F; F \wedge V = F; F \wedge F = F.
  • Disjunção A \vee B: é falsa somente se ambos A e B forem F; caso contrário é V. Ex.: F \vee F = F; qualquer outro par dá V.
Essas regras são a “receita” que vamos aplicar para obter cada coluna da tabela.

Passo 3

Número de linhas: com 4 proposições atômicas ( p,q,r,s) há 2^4 = 16 combinações possíveis de V e F. Vou usar a ordem padrão em que o último termo ( s) varia mais rápido: (p,q,r,s) em
(V,V,V,V),\\ (V,V,V,F),\\ (V,V,F,V),\\ (V,V,F,F),\\\ (V,F,V,V),\\ (V,F,V,F),\\ (V,F,F,V),\\ (V,F,F,F),\\\ (F,V,V,V),\\ (F,V,V,F),\\ (F,V,F,V),\\ (F,V,F,F),\\\ (F,F,V,V),\\ (F,F,V,F),\\ (F,F,F,V),\\ (F,F,F,F).
Vou construir colunas intermediárias para facilitar: \,p \wedge r, \,q \wedge s, \sim(q \wedge s), e finalmente (p \wedge r) \vee \sim(q \wedge s).

Passo 4

Calcular a coluna \,p \wedge r.
Regra: \,p \wedge r é V só quando ambos p e r forem V.
Aplicando às 16 linhas (mostro o raciocínio para alguns casos):
  • Se (p,r)=(V,V) então p \wedge r = V.
  • Se um deles for F (por exemplo (p,r)=(V,F) ou (F,V) ou (F,F)), então p \wedge r = F.
Assim obtemos, na ordem das linhas indicadas no passo anterior, os valores de p \wedge r:
V,\\ F,\\ F,\\ F,\\ V,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F.

Passo 5

Calcular a coluna \,q \wedge s.
Mesma regra: \,q \wedge s é V só quando q=V e s=V.
Aplicando às 16 linhas (alguns exemplos):
  • Linha 1: (q,s)=(V,V)\Rightarrow q\wedge s = V.
  • Linha 2: (q,s)=(V,F)\Rightarrow q\wedge s = F.
  • etc.
Os 16 valores de q \wedge s na mesma ordem são:
V,\\ F,\\ V,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ V,\\ F,\\ V,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F,\\ F.

Passo 6

Calcular \sim(q \wedge s) negando a coluna anterior.
Regra: inverter V \leftrightarrow F. Aplicação linha a linha aos valores de q\wedge s acima:
Os 16 valores de \sim(q \wedge s) são:
F,\\ V,\\ F,\\ V,\\ V,\\ V,\\ V,\\ V,\\ F,\\ V,\\ F,\\ V,\\ V,\\ V,\\ V,\\ V.

Passo 7

Calcular a coluna final (p \wedge r) \vee \sim(q \wedge s).
Regra da disjunção: é V se pelo menos uma das parcelas for V; só é F se ambas forem F.
Tomando as colunas de \,p\wedge r (do Passo 4) e \sim(q\wedge s) (do Passo 6) e aplicando \vee linha a linha, obtemos os valores finais. Exemplo de algumas linhas:
  • Linha 1: p\wedge r = V, \sim(q\wedge s)=F => V \vee F = V.
  • Linha 2: p\wedge r = F, \sim(q\wedge s)=V => F \vee V = V.
  • Linha 3: p\wedge r = F, \sim(q\wedge s)=F => F \vee F = F.
Calculei todas as 16 linhas com esse procedimento para montar a tabela final abaixo.

Resposta

\begin{array}{c c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} p & q & r & s & p\wedge r & q\wedge s & \sim(q\wedge s) & (p\wedge r)\vee \sim(q\wedge s)\\hline V & V & V & V & V & V & F & V\\\ V & V & V & F & F & F & V & V\\\ V & V & F & V & F & V & F & F\\\ V & V & F & F & F & F & V & V\\\ V & F & V & V & V & F & V & V\\\ V & F & V & F & F & F & V & V\\\ V & F & F & V & F & F & V & V\\\ V & F & F & F & F & F & V & V\\\ F & V & V & V & F & V & F & F\\\ F & V & V & F & F & F & V & V\\\ F & V & F & V & F & V & F & F\\\ F & V & F & F & F & F & V & V\\\ F & F & V & V & F & F & V & V\\\ F & F & V & F & F & F & V & V\\\ F & F & F & V & F & F & V & V\\\ F & F & F & F & F & F & V & V \end{array}

Exercícios relacionados