Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições abaixo:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição
.
Informações dadas:
- A fórmula é
. - As proposições atômicas envolvidas são
. - A tarefa é listar, para todas as combinações de verdade de
, o valor de verdade da expressão composta.
Passo 2
Vamos lembrar (do jeitinho claro) o que cada conectivo faz — porque isso é o que vamos aplicar linha a linha na tabela.
- Negação
: é verdadeira ( ) quando é falsa ( ), e falsa ( ) quando é verdadeira ( ). Exemplo: se é então é . - Conjunção
: é verdadeira somente se ambos e forem ; em qualquer outro caso é . Ex.: ; ; ; . - Disjunção
: é falsa somente se ambos e forem ; caso contrário é . Ex.: ; qualquer outro par dá .
Essas regras são a “receita” que vamos aplicar para obter cada coluna da tabela.
Passo 3
Número de linhas: com 4 proposições atômicas (
) há
combinações possíveis de
e
. Vou usar a ordem padrão em que o último termo (
) varia mais rápido:
em
Vou construir colunas intermediárias para facilitar:
,
,
, e finalmente
.
Passo 4
Calcular a coluna
.
Regra:
é
só quando ambos
e
forem
.
Aplicando às 16 linhas (mostro o raciocínio para alguns casos):
- Se
então . - Se um deles for
(por exemplo ou ou ), então .
Assim obtemos, na ordem das linhas indicadas no passo anterior, os valores de
:
Passo 5
Calcular a coluna
.
Mesma regra:
é
só quando
e
.
Aplicando às 16 linhas (alguns exemplos):
- Linha 1:
. - Linha 2:
. - etc.
Os 16 valores de
na mesma ordem são:
Passo 6
Calcular
negando a coluna anterior.
Regra: inverter
. Aplicação linha a linha aos valores de
acima:
Os 16 valores de
são:
Passo 7
Calcular a coluna final
.
Regra da disjunção: é
se pelo menos uma das parcelas for
; só é
se ambas forem
.
Tomando as colunas de
(do Passo 4) e
(do Passo 6) e aplicando
linha a linha, obtemos os valores finais. Exemplo de algumas linhas:
- Linha 1:
, => . - Linha 2:
, => . - Linha 3:
, => .
Calculei todas as 16 linhas com esse procedimento para montar a tabela final abaixo.