Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:
(\neg p \wedge q) \vee(p \wedge \neg q)

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição composta (\neg p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q).
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são p e q.
  • Queremos listar todas as possíveis avaliações de verdade de p e q e calcular, para cada avaliação, o valor de (\neg p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q).
  • Devemos apresentar a tabela-verdade completa (todas as combinações possíveis de p e q).

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o significado dos conectivos lógicos que aparecem aqui, com exemplos bem simples.
  • Negação \neg: \neg p é verdadeiro quando p é falso, e falso quando p é verdadeiro. Ex.: se p é \mathrm{V}, então \neg p é \mathrm{F}.
  • Conjunção \wedge (E): A \wedge B é verdadeiro somente quando tanto A quanto B são verdadeiros; caso contrário é falso. Ex.: \mathrm{V} \wedge \mathrm{V} = \mathrm{V}; \mathrm{V} \wedge \mathrm{F} = \mathrm{F}.
  • Disjunção \vee (OU): A \vee B é verdadeiro quando pelo menos um entre A e B é verdadeiro; é falso somente se ambos forem falsos. Ex.: \mathrm{V} \vee \mathrm{F} = \mathrm{V}; \mathrm{F} \vee \mathrm{F} = \mathrm{F}.
Vamos aplicar essas definições passo a passo para cada combinação de valores de p e q.

Passo 3

Listamos todas as quatro combinações possíveis de p e q (duas variáveis levam a 2^2=4 linhas). Para cada linha calculamos primeiro \neg p e \neg q.
Linhas (na ordem padrão):
  1. p=\mathrm{V}, q=\mathrm{V}
  2. p=\mathrm{V}, q=\mathrm{F}
  3. p=\mathrm{F}, q=\mathrm{V}
  4. p=\mathrm{F}, q=\mathrm{F}
Agora calculamos \neg p e \neg q em cada linha:
  • Linha 1: \neg p = \mathrm{F}, \neg q = \mathrm{F}.
  • Linha 2: \neg p = \mathrm{F}, \neg q = \mathrm{V}.
  • Linha 3: \neg p = \mathrm{V}, \neg q = \mathrm{F}.
  • Linha 4: \neg p = \mathrm{V}, \neg q = \mathrm{V}.

Passo 4

Agora calculamos a primeira conjunção \neg p \wedge q usando a regra “verdadeiro somente se ambos os operandos são verdadeiros”.
Avaliações:
  • Linha 1: \neg p \wedge q = \mathrm{F} \wedge \mathrm{V} = \mathrm{F}.
  • Linha 2: \neg p \wedge q = \mathrm{F} \wedge \mathrm{F} = \mathrm{F}.
  • Linha 3: \neg p \wedge q = \mathrm{V} \wedge \mathrm{V} = \mathrm{V}.
  • Linha 4: \neg p \wedge q = \mathrm{V} \wedge \mathrm{F} = \mathrm{F}.

Passo 5

Calculamos a segunda conjunção p \wedge \neg q da mesma forma.
Avaliações:
  • Linha 1: p \wedge \neg q = \mathrm{V} \wedge \mathrm{F} = \mathrm{F}.
  • Linha 2: p \wedge \neg q = \mathrm{V} \wedge \mathrm{V} = \mathrm{V}.
  • Linha 3: p \wedge \neg q = \mathrm{F} \wedge \mathrm{F} = \mathrm{F}.
  • Linha 4: p \wedge \neg q = \mathrm{F} \wedge \mathrm{V} = \mathrm{F}.

Passo 6

Finalmente calculamos a disjunção das duas conjunções:
(\neg p \wedge q) \vee (p \wedge \neg q)
A disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das conjunções for verdadeira; só é falsa se ambas forem falsas. Usando os resultados dos passos anteriores:
  • Linha 1: \mathrm{F} \vee \mathrm{F} = \mathrm{F}.
  • Linha 2: \mathrm{F} \vee \mathrm{V} = \mathrm{V}.
  • Linha 3: \mathrm{V} \vee \mathrm{F} = \mathrm{V}.
  • Linha 4: \mathrm{F} \vee \mathrm{F} = \mathrm{F}.
Observação final (útil para prova): a fórmula fica verdadeira exatamente quando p e q têm valores diferentes (uma delas verdadeira e a outra falsa). Essa é a definição de “ou exclusivo” (XOR). Mas para a prova é suficiente saber calcular linha a linha como fizemos.

Resposta

p\quad q\quad \neg p\quad \neg q\quad (\neg p\wedge q)\quad (p\wedge\neg q)\quad (\neg p\wedge q)\vee(p\wedge\neg q)
\mathrm{V}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}
\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{V}
\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}
\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{V}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}\;\;\mathrm{F}

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