Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições compostas:
Passo 1
O enunciado pede: construir a tabela-verdade da proposição composta
.
Informações dadas:
- As variáveis proposicionais são
e . - Queremos listar todas as possíveis avaliações de verdade de
e e calcular, para cada avaliação, o valor de . - Devemos apresentar a tabela-verdade completa (todas as combinações possíveis de
e ).
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o significado dos conectivos lógicos que aparecem aqui, com exemplos bem simples.
- Negação
: é verdadeiro quando é falso, e falso quando é verdadeiro. Ex.: se é , então é . - Conjunção
(E): é verdadeiro somente quando tanto quanto são verdadeiros; caso contrário é falso. Ex.: ; . - Disjunção
(OU): é verdadeiro quando pelo menos um entre e é verdadeiro; é falso somente se ambos forem falsos. Ex.: ; .
Vamos aplicar essas definições passo a passo para cada combinação de valores de
e
.
Passo 3
Listamos todas as quatro combinações possíveis de
e
(duas variáveis levam a
linhas). Para cada linha calculamos primeiro
e
.
Linhas (na ordem padrão):
-
, -
, -
, -
,
Agora calculamos
e
em cada linha:
- Linha 1:
, . - Linha 2:
, . - Linha 3:
, . - Linha 4:
, .
Passo 4
Agora calculamos a primeira conjunção
usando a regra “verdadeiro somente se ambos os operandos são verdadeiros”.
Avaliações:
- Linha 1:
. - Linha 2:
. - Linha 3:
. - Linha 4:
.
Passo 5
Calculamos a segunda conjunção
da mesma forma.
Avaliações:
- Linha 1:
. - Linha 2:
. - Linha 3:
. - Linha 4:
.
Passo 6
Finalmente calculamos a disjunção das duas conjunções:
A disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das conjunções for verdadeira; só é falsa se ambas forem falsas. Usando os resultados dos passos anteriores:
- Linha 1:
. - Linha 2:
. - Linha 3:
. - Linha 4:
.
Observação final (útil para prova): a fórmula fica verdadeira exatamente quando
e
têm valores diferentes (uma delas verdadeira e a outra falsa). Essa é a definição de “ou exclusivo” (XOR). Mas para a prova é suficiente saber calcular linha a linha como fizemos.