Escreva a negação de cada uma das seguintes proposições:
Todos os peixes respiram na água.

Passo 1

O enunciado dá a proposição “Todos os peixes respiram na água.” e pede que a gente escreva a negação dessa proposição. Informação relevante: a frase é uma afirmação universal — ela diz que, para qualquer indivíduo, se esse indivíduo é um peixe então ele respira na água.

Passo 2

Vamos formalizar a proposição usando predicados e quantificadores para ficar claro como negar depois. Defina:
P(x): " x é um peixe."
R(x): " x respira na água."
A frase “Todos os peixes respiram na água.” corresponde à fórmula
\forall x\,(P(x)\rightarrow R(x)).
Expliquei: usamos a implicação P(x)\rightarrow R(x) porque a frase significa “se x é peixe então x respira na água”.

Passo 3

Qual é a regra para negar uma afirmação universal? A negação de
\forall x\,\Phi(x)
é equivalente a
\exists x\,\neg\Phi(x).
Isto é, “não para todo x” equivale a “existe pelo menos um x tal que não…”. Essa é a forma quantificadora da lei de De Morgan.

Passo 4

Aplique a regra à nossa fórmula:
\neg\bigl(\forall x\,(P(x)\rightarrow R(x))\bigr) \equiv \exists x\,\neg\bigl(P(x)\rightarrow R(x)\bigr).
Agora simplificamos \neg(P(x)\rightarrow R(x)). Lembre-se que a implicação A\rightarrow B é falsa só quando A é verdadeira e B é falsa. Logo
\neg\bigl(P(x)\rightarrow R(x)\bigr)\equiv P(x)\land \neg R(x).

Passo 5

Substituindo, a negação final na forma simbólica fica
\exists x\,(P(x)\land \neg R(x)),
e a interpretação em linguagem natural é: “Existe pelo menos um indivíduo que é peixe e que não respira na água.” Em português mais natural: “Algum peixe não respira na água.” Dica de prova: sempre transforme “Todos os …” em “Existe … que não …” — isso costuma salvar na pressa.

Resposta

\exists x\,(P(x)\land \neg R(x))
Existe pelo menos um peixe que não respira na água.

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