Construa a tabela verdade das seguintes proposições
(p \longleftrightarrow \sim q) \longleftrightarrow q \rightarrow p

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela verdade da proposição
(p \longleftrightarrow \sim q) \longleftrightarrow q \rightarrow p.
Informações dadas:
  • A única fórmula fornecida é a acima, com as variáveis proposicionais p e q.
  • O objetivo é listar todas as valorações possíveis de p e q e calcular o valor de verdade da fórmula em cada valoração.

Passo 2

Primeiro preciso deixar explícita a interpretação da expressão, porque sem parênteses completos ela pode ficar ambígua. Vou adotar a interpretação padrão onde a implicação tem precedência sobre a bicondicional, isto é, a expressão corresponde a
\bigl(p \leftrightarrow \lnot q\bigr)\leftrightarrow\bigl(q\rightarrow p\bigr).
Ou seja: comparar a veracidade de (p \leftrightarrow \lnot q) com a de (q \rightarrow p) por meio de uma bicondicional externa.

Passo 3

Rápida aula sobre os conectivos que vamos usar (com linguagem simples):
  • Negação: \lnot q é verdadeira ( V) quando q é falsa ( F), e falsa quando q é verdadeira.
  • Implicação: q\rightarrow p é falsa só quando q é V e p é F; em todos os outros casos é V. Intuição: "se q então p".
  • Bicondicional: A\leftrightarrow B é V quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambos V ou ambos F), e é F quando têm valores diferentes. Intuição: " A equivale a B".

Passo 4

Vamos listar todas as valorações possíveis de (p,q). São quatro casos (vou usar a ordem usual):
  1. p=V,\;q=V
  2. p=V,\;q=F
  3. p=F,\;q=V
  4. p=F,\;q=F
Vou calcular colunas intermediárias \lnot q, p\leftrightarrow\lnot q, q\rightarrow p e depois a bicondicional final.

Passo 5

Calcular \lnot q em cada linha:
  • Se q=V então \lnot q = F.
  • Se q=F então \lnot q = V.
Aplicando às quatro valorações:
  1. q=V \Rightarrow \lnot q = F.
  2. q=F \Rightarrow \lnot q = V.
  3. q=V \Rightarrow \lnot q = F.
  4. q=F \Rightarrow \lnot q = V.

Passo 6

Calcular p \leftrightarrow \lnot q (verdadeiro quando p e \lnot q coincidem):
Usando os resultados do passo anterior:
  1. p=V,\;\lnot q=F \Rightarrow p\leftrightarrow\lnot q = F.
  2. p=V,\;\lnot q=V \Rightarrow p\leftrightarrow\lnot q = V.
  3. p=F,\;\lnot q=F \Rightarrow p\leftrightarrow\lnot q = V.
  4. p=F,\;\lnot q=V \Rightarrow p\leftrightarrow\lnot q = F.

Passo 7

Calcular q \rightarrow p (falsa só quando q=V e p=F):
  1. q=V,\;p=V \Rightarrow q\rightarrow p = V.
  2. q=F,\;p=V \Rightarrow q\rightarrow p = V (antecedente falso → implicação verdadeira).
  3. q=V,\;p=F \Rightarrow q\rightarrow p = F.
  4. q=F,\;p=F \Rightarrow q\rightarrow p = V.

Passo 8

Calcular a bicondicional final \bigl(p \leftrightarrow \lnot q\bigr)\leftrightarrow\bigl(q\rightarrow p\bigr) comparando as duas colunas:
Usando os valores de p\leftrightarrow\lnot q (do passo 6) e q\rightarrow p (do passo 7):
  1. p\leftrightarrow\lnot q = F e q\rightarrow p = V \Rightarrow bicondicional final = F (valores diferentes).
  2. p\leftrightarrow\lnot q = V e q\rightarrow p = V \Rightarrow bicondicional final = V (ambos V).
  3. p\leftrightarrow\lnot q = V e q\rightarrow p = F \Rightarrow bicondicional final = F.
  4. p\leftrightarrow\lnot q = F e q\rightarrow p = V \Rightarrow bicondicional final = F.

Resposta

p\quad q\quad \lnot q\quad p\leftrightarrow\lnot q\quad q\rightarrow p\quad (p\leftrightarrow\lnot q)\leftrightarrow(q\rightarrow p)
V\quad V\quad F\quad F\quad V\quad F
V\quad F\quad V\quad V\quad V\quad V
F\quad V\quad F\quad V\quad F\quad F
F\quad F\quad V\quad F\quad V\quad F

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