Construa a tabela verdade das seguintes proposições
Passo 1
O enunciado pede: construir a tabela verdade da proposição
Informações dadas (tudo que há no enunciado):
- As variáveis proposicionais são
. - A fórmula inteira é a bicondicional entre a subfórmula
e a disjunção . - Quero todas as linhas possíveis da tabela verdade (8 combinações de
) e o valor final da fórmula em cada linha.
Passo 2
Vamos rever os conectivos e suas regras de verdade (aqui explico de um jeito bem prático):
- Negação
: troca verdadeiro por falso e falso por verdadeiro. -
é se é ; é se é .
-
- Disjunção
: é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira. - Só é
quando é e é .
- Só é
- Implicação
: é falsa somente quando é e é . Nos outros três casos ( falso ou verdadeiro) a implicação é . - Observação importante: se o antecedente
for , então vale sempre (isso costuma confundir).
- Observação importante: se o antecedente
- Bicondicional
: é quando e têm o mesmo valor (ambos ou ambos ); é quando têm valores diferentes.
Passo 3
Plano para montar a tabela: vou listar colunas para as subfórmulas que precisamos avaliar passo a passo:
As 8 linhas seguem todas as combinações de
. Vou calcular cada subcoluna em cada linha com as regras acima.
Passo 4
Vou enumerar as 8 combinações na ordem usual e calcular
e
.
-
:
-
. -
(antecedente , consequente → implicação ).
-
:
-
. -
.
-
:
-
. -
.
-
:
-
. -
.
Passo 5
Continuo com as combinações onde
(lembre: se
, então qualquer implicação com antecedente
será
).
-
:
-
. -
(antecedente falso → implicação verdadeira).
-
:
-
. -
.
-
:
-
. -
.
-
:
-
. -
.
Passo 6
Agora calculo a coluna
. Lembrete: é uma implicação cujo antecedente é
e consequente é o valor já calculado de
.
Usando resultados anteriores:
-
e → . -
e → . -
e → . -
e → . -
→ antecedente falso → . -
→ resultado . -
→ resultado . -
→ resultado .
Passo 7
Calculo a coluna
(disjunção) em cada linha:
-
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ . -
→ .
Passo 8
Agora avalio a bicondicional final
que é
quando as duas subfórmulas têm o mesmo valor, e
caso contrário.
Usando as colunas obtidas:
- linha 1:
, → . - linha 2:
e → . - linha 3:
e → . - linha 4:
e → . - linha 5:
e → . - linha 6:
e → . - linha 7:
e → . - linha 8:
e → .
Passo 9
Apresento a tabela completa (cada linha mostra
e os valores das subfórmulas até o valor final). Usei
para verdadeiro e
para falso.
E a coluna final (bicondicional) é:
Passo 10
Interpretação rápida: a fórmula não é tautologia (nem contradição), pois ela assume
em algumas linhas e
em outras — portanto é uma fórmula contingente.