Construa a tabela verdade das seguintes proposições
p \longrightarrow(p \longrightarrow \sim r) \longleftrightarrow q \vee r

Passo 1

O enunciado pede: construir a tabela verdade da proposição
p \longrightarrow\big(p \longrightarrow \sim r\big) \longleftrightarrow q \vee r.
Informações dadas (tudo que há no enunciado):
  • As variáveis proposicionais são p,\;q,\;r.
  • A fórmula inteira é a bicondicional entre a subfórmula p \longrightarrow\big(p \longrightarrow \sim r\big) e a disjunção q \vee r.
  • Quero todas as linhas possíveis da tabela verdade (8 combinações de p,q,r) e o valor final da fórmula em cada linha.

Passo 2

Vamos rever os conectivos e suas regras de verdade (aqui explico de um jeito bem prático):
  • Negação \sim A: troca verdadeiro por falso e falso por verdadeiro.
    • \sim A é V se A é F; \sim A é F se A é V.
  • Disjunção A \vee B: é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira.
    • Só é F quando A é F e B é F.
  • Implicação A \rightarrow B: é falsa somente quando A é V e B é F. Nos outros três casos ( A falso ou B verdadeiro) a implicação é V.
    • Observação importante: se o antecedente A for F, então A\rightarrow B vale V sempre (isso costuma confundir).
  • Bicondicional A \leftrightarrow B: é V quando A e B têm o mesmo valor (ambos V ou ambos F); é F quando têm valores diferentes.

Passo 3

Plano para montar a tabela: vou listar colunas para as subfórmulas que precisamos avaliar passo a passo:
p,\; q,\; r,\; \sim r,\; p \rightarrow \sim r,\; p \rightarrow (p \rightarrow \sim r),\; q \vee r,\; \big(p \rightarrow(p \rightarrow \sim r)\big)\leftrightarrow(q\vee r).
As 8 linhas seguem todas as combinações de p,q,r. Vou calcular cada subcoluna em cada linha com as regras acima.

Passo 4

Vou enumerar as 8 combinações na ordem usual e calcular \sim r e p \rightarrow \sim r.
  1. (p,q,r)=(V,V,V):
  • \sim r = F.
  • p \rightarrow \sim r = V \rightarrow F = F (antecedente V, consequente F → implicação F).
  1. (p,q,r)=(V,V,F):
  • \sim r = V.
  • p \rightarrow \sim r = V \rightarrow V = V.
  1. (p,q,r)=(V,F,V):
  • \sim r = F.
  • p \rightarrow \sim r = V \rightarrow F = F.
  1. (p,q,r)=(V,F,F):
  • \sim r = V.
  • p \rightarrow \sim r = V \rightarrow V = V.

Passo 5

Continuo com as combinações onde p=F (lembre: se p=F, então qualquer implicação com antecedente p será V).
  1. (p,q,r)=(F,V,V):
  • \sim r = F.
  • p \rightarrow \sim r = F \rightarrow F = V (antecedente falso → implicação verdadeira).
  1. (p,q,r)=(F,V,F):
  • \sim r = V.
  • p \rightarrow \sim r = F \rightarrow V = V.
  1. (p,q,r)=(F,F,V):
  • \sim r = F.
  • p \rightarrow \sim r = F \rightarrow F = V.
  1. (p,q,r)=(F,F,F):
  • \sim r = V.
  • p \rightarrow \sim r = F \rightarrow V = V.

Passo 6

Agora calculo a coluna p \rightarrow (p \rightarrow \sim r). Lembrete: é uma implicação cujo antecedente é p e consequente é o valor já calculado de p \rightarrow \sim r.
Usando resultados anteriores:
  1. p=V e p \rightarrow \sim r = F V \rightarrow F = F.
  2. p=V e p \rightarrow \sim r = V V \rightarrow V = V.
  3. p=V e p \rightarrow \sim r = F V \rightarrow F = F.
  4. p=V e p \rightarrow \sim r = V V \rightarrow V = V.
  5. p=F → antecedente falso → p \rightarrow (p \rightarrow \sim r) = V.
  6. p=F → resultado V.
  7. p=F → resultado V.
  8. p=F → resultado V.

Passo 7

Calculo a coluna q \vee r (disjunção) em cada linha:
  1. q=V,\;r=V q \vee r = V.
  2. q=V,\;r=F q \vee r = V.
  3. q=F,\;r=V q \vee r = V.
  4. q=F,\;r=F q \vee r = F.
  5. q=V,\;r=V q \vee r = V.
  6. q=V,\;r=F q \vee r = V.
  7. q=F,\;r=V q \vee r = V.
  8. q=F,\;r=F q \vee r = F.

Passo 8

Agora avalio a bicondicional final
\big(p \rightarrow(p \rightarrow \sim r)\big)\leftrightarrow(q\vee r),
que é V quando as duas subfórmulas têm o mesmo valor, e F caso contrário.
Usando as colunas obtidas:
  1. linha 1: p \rightarrow(p \rightarrow \sim r)=F, q\vee r=V F \leftrightarrow V = F.
  2. linha 2: V e V V \leftrightarrow V = V.
  3. linha 3: F e V F \leftrightarrow V = F.
  4. linha 4: V e F V \leftrightarrow F = F.
  5. linha 5: V e V V \leftrightarrow V = V.
  6. linha 6: V e V V \leftrightarrow V = V.
  7. linha 7: V e V V \leftrightarrow V = V.
  8. linha 8: V e F V \leftrightarrow F = F.

Passo 9

Apresento a tabela completa (cada linha mostra (p,q,r) e os valores das subfórmulas até o valor final). Usei V para verdadeiro e F para falso.
\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} p & q & r & \sim r & p\rightarrow\sim r & p\rightarrow\big(p\rightarrow\sim r\big) & q\vee r \\\ \hline V & V & V & F & F & F & V \\\ V & V & F & V & V & V & V \\\ V & F & V & F & F & F & V \\\ V & F & F & V & V & V & F \\\ F & V & V & F & V & V & V \\\ F & V & F & V & V & V & V \\\ F & F & V & F & V & V & V \\\ F & F & F & V & V & V & F \end{array}
E a coluna final (bicondicional) é:
\begin{array}{c} \big(p \rightarrow(p \rightarrow \sim r)\big)\leftrightarrow(q\vee r) \\\ \hline F\\\ V\\\ F\\\ F\\\ V\\\ V\\\ V\\\ F \end{array}

Passo 10

Interpretação rápida: a fórmula não é tautologia (nem contradição), pois ela assume V em algumas linhas e F em outras — portanto é uma fórmula contingente.

Resposta

\begin{array}{c c c \;|\; c \;|\; c \;|\; c \;|\; c} p & q & r & \sim r & p\rightarrow\sim r & p\rightarrow\big(p\rightarrow\sim r\big) & q\vee r \\\ \hline V & V & V & F & F & F & V \\\ V & V & F & V & V & V & V \\\ V & F & V & F & F & F & V \\\ V & F & F & V & V & V & F \\\ F & V & V & F & V & V & V \\\ F & V & F & V & V & V & V \\\ F & F & V & F & V & V & V \\\ F & F & F & V & V & V & F \end{array}
\begin{array}{c} \big(p \rightarrow(p \rightarrow \sim r)\big)\leftrightarrow(q\vee r) \\\ \hline F\\\ V\\\ F\\\ F\\\ V\\\ V\\\ V\\\ F \end{array}

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