Construa as tabelas verdade das seguintes proposições:
(p \rightarrow q) \rightarrow(p \rightarrow q \vee r)

Passo 1

O enunciado pede a tabela verdade da proposição
(p \to q)\;\to\;\bigl(p \to (q \vee r)\bigr).
O conteúdo é lógica proposicional com condicional \to e disjunção \vee. Usaremos as definições:
  • \varphi \to \psi é falsa apenas quando \varphi é verdadeira e \psi é falsa; caso contrário é verdadeira.
  • \varphi \vee \psi é verdadeira se ao menos uma das proposições for verdadeira; caso contrário é falsa.

Passo 2

Vamos construir colunas para cada expressão intermediária: p, q, r, (p \to q), (q \vee r), p \to (q \vee r) e finalmente (p \to q) \to (p \to (q \vee r)).

Passo 3

Preenchemos cada linha considerando todas as 2^3=8 combinações de valores de p,q,r:
  1. Calcule (p \to q) usando a tabela do condicional.
  2. Calcule (q \vee r) pela regra da disjunção.
  3. Calcule p \to (q \vee r).
  4. Por fim, avalie (p \to q) \to (p \to (q \vee r)).

Passo 4

Observa-se que a proposição composta vale verdadeira em todas as 8 linhas, ou seja, é uma tautologia.

Resposta

p q r p \to q q \vee r p \to (q \vee r) (p \to q) \to (p \to (q \vee r))
\text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{V} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{V} \text{F} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{V} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{V}
\text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{F} \text{F} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V}
A última coluna é sempre \text{V}, logo a fórmula é uma tautologia.

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